Felix Klein
Doğum	Felix Christian Klein 25 Nisan 1849(1849-04-25) Düsseldorf, Ren, Prusya Krallığı, Alman Konfederasyonu
Ölüm	22 Haziran 1925 (76 yaşında) Göttingen, Hannover, Özgür Prusya Devleti, Weimar Cumhuriyeti
Defin yeri	Stadtfriedhof Göttingen 51°31′56.435″K 9°54′34.758″D / 51.53234306°K 9.90965500°D / 51.53234306; 9.90965500
Milliyet	Alman
Vatandaşlık	Alman Konfederasyonu, Alman İmparatorluğu, Weimar Cumhuriyeti
Eğitim	Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn (1868), Berlin Humboldt Üniversitesi
Mezun olduğu okul(lar)	Bonn Üniversitesi
Tanınma nedeni	Erlangen programı Klein şişesi Beltrami–Klein modeli Klein Matematik Bilimleri Ansiklopedisi
Ödüller	De Morgan Madalyası (1893) Bavarian Maximilian Order for Science and Art (1898) Copley Madalyası (1912) Ackermann–Teubner Anma Ödülü (1914) Pour le Mérite for Sciences and Arts
Kariyeri
Dalı	Matematik, Diferansiyel geometri, Grup teorisi, Geometri
Çalıştığı kurum	Erlangen-Nürnberg Üniversitesi (1872-1875), Münih Teknik Üniversitesi (1875-1880), Leipzig Üniversitesi (1880-1886), Göttingen Üniversitesi (1886-1913), Berlin Teknik Üniversitesi
Tez	Ueber die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien-Coordinaten auf eine canonische Form (1868)
Doktora danışmanı	Julius Plücker (1. danışman), Rudolf Lipschitz (2. danışman)
Doktora öğrencileri	Ferdinand von Lindemann (1873), Carl Gustav Axel Harnack (1875), Ludwig Bieberbach (1910), Adolf Hurwitz (1881), Grace Chisholm Young, Maxime Bôcher, Oskar Bolza (1886), Max Brückner, Frank Nelson Cole, Friedrich Dingeldey, Friedrich Engel, Ernst Fiedler (1885), Henry Burchard Fine, Otto Fischer, August Föppl (1886), Erwin Finlay-Freundlich, Robert Fricke, Philipp Furtwängler (1896), Georg Helm, Edward Kasner, Conrad Heinrich Müller, Alexander Ostrowski, Erwin Papperitz, Julio Rey Pastor, Hermann Rothe, Friedrich Schilling, Victor Schlegel, Virgil Snyder, Otto Staude, Walther von Dyck (1879), Adolf Weiler (1873), Max Winkelmann (1904), Alexander Witting (1886), Karl Rohn (1878), Henry Seely White (1891), Edward Burr Van Vleck (1893), Adolf Weiler, Anton Aloys Timpe, Reinhold Müller, Max Winkelmann, Mary Frances Winston Newson, Karl Wieghardt, Paul Friedrich Biedermann, Josef Diekmann, Wilhelm Braun, Ludwig Wedekind, Joseph Gierster, Ernst Julius Martin Lange, Guido Weichold, Ernst Wilhelm Fiedler, Paul Richard Domsch, Georg Friedrich, Paul Gustav Heinrich Nimsch, Richard Emil Olbricht, Willibald Alexander Reichardt, Johannes Karl August Schröder, Henry Dallas Thompson, Karl Schellenberg, Ernst Ritter, Th. Glauner, Frederick Shenstone Woods, Charles Jaccottet, W. Ihlenburg, Wilhelm Behrens, Otto Paul Pfitzner, Rudolf Karl Ferdinand Böger, Wilhelm Bretschneider, Bernhard Oscar Herrmann, Gustav Berger, Rudolf Besser

Christian Felix Klein (Almanca telaffuz: [klaɪn]; 25 Nisan 1849 - 22 Haziran 1925), grup teorisi, karmaşık analiz, Öklid dışı geometri ve geometri ile grup teorisi arasındaki ilişkiler üzerine yaptığı çalışmalarla tanınan Alman matematikçi ve matematik eğitimcisi. Klein'ın geometrileri temel simetri gruplarına göre sınıflandıran 1872 Erlangen programı, döneminin matematiğinin büyük kısmının etkili bir senteziydi.

Hayatı[değiştir | kaynağı değiştir]

Felix Klein 25 Nisan 1849'da Prusyalı bir ailenin çocuğu olarak Düsseldorf'ta^[1] doğdu. Babası Caspar Klein (1809-1889), Ren Eyaleti'nde görevli bir Prusya hükûmet yetkilisinin sekreteriydi. Annesi, Sophie Elise Klein'dı (1819-1890, Evlilik öncesi soyadı Kayser).^[2] Düsseldorf'taki Gymnasium'a katıldı, daha sonra fizikçi olma niyetiyle^[3] 1865-1866 Bonn Üniversitesi'nde matematik ve fizik okudu. O zamanlar Julius Plücker, Bonn'un matematik ve deneysel fizik profesörüydü, ancak Klein asistanı olduğunda, 1866'da Plücker'in ilgisi esas olarak geometri idi. Klein doktorasını 1868'de Bonn Üniversitesi'nden Plücker'ın gözetiminde yaptı.

Plücker 1868'de öldü ve çizgi geometrisinin temeli hakkındaki kitabını eksik bıraktı. Klein, Plücker'in Neue Geometrie des Raumes'ın ikinci bölümünü tamamlayan en bariz kişiydi ve böylece 1868'de Göttingen'e taşınan Alfred Clebsch ile tanıştı. Klein ertesi yıl Berlin ve Paris ziyaretleri esnasında Clebsch'i de ziyaret etti. Temmuz 1870'te, Fransa-Prusya Savaşı'nın başında Paris'teydi ve ülkeyi terk etmek zorunda kaldı. 1871'in başlarında Göttingen'de kısa bir süre için öğretim görevlisi olarak atanmadan önce Prusya Ordusunda sağlık memuru olarak görev yaptı.

Erlangen, 1872'de henüz 23 yaşındayken Klein profesörü olarak atandı.^[4] Bunun için, onu zamanının en iyi matematikçisi olarak gören Clebsch tarafından uygun bulundu. Klein, çok az öğrencinin olduğu Erlangen'de kalmak istemedi ve 1875'te Münih'teki Technische Hochschule'de profesörlük teklif edilmesinden memnun oldu. Orada Alexander von Brill ile birlikte, Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi ve Gregorio Ricci-Curbastro dahil olmak üzere birçok mükemmel öğrenciye ileri kurslar verdiler.

1875'te Klein, filozof Georg Wilhelm Friedrich Hegel'in torunu Anne Hegel ile evlendi.^[5]

Technische Hochschule'de beş yıl geçirdikten sonra Klein, Leipzig'de bir geometri kürsüsüne atandı. Meslektaşları arasında Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study ve Friedrich Engel de vardı. Klein'ın Leipzig'deki 1880-1886 yılları, hayatını temelden değiştirdi. 1882'de sağlığı çöktü; 1883-1884'te depresyona girdi.^[6] Yine de araştırmalarına devam etti; Onun hiperelliptik sigma fonksiyonları üzerine 1886 ve 1888 yılları arasında yayınlanan ufuk açıcı çalışması bu dönemden kalmadır.

Klein, 1886'da Göttingen Üniversitesi'nde profesörlüğü kabul etti. O andan itibaren, 1913 emekli olana kadar, Göttingen'i matematik araştırmaları için dünyanın en önemli merkezi olarak yeniden kurmaya çalıştı. Bununla birlikte, geometri geliştiricisi olarak kendi başrolünü Leipzig'den Göttingen'e asla transfer etmeyi başaramadı. Göttingen'de matematik ve fizik arasındaki arayüz, özellikle de mekanik ve potansiyel teori ile ilgili çeşitli dersler verdi.

Klein'ın Göttingen'de kurduğu araştırma ünitesi, dünya çapında bu tür ünitelerin en iyisi için örnek teşkil etti. Haftalık tartışma toplantılarını başlattı ve matematiksel bir okuma odası ve kütüphane oluşturdu. 1895'te Klein, David Hilbert'i Königsberg Üniversitesi'nde işe aldı. Bu atamanın büyük önemi olduğunu kanıtladı; Hilbert, Göttingen'in matematikteki önceliğini 1932'de emekli olana kadar geliştirmeye devam etti.

Klein'ın editörlüğünde Mathematische Annalen, dünyanın en iyi matematik dergilerinden biri oldu. Clebsch tarafından kuruldu, Klein'ın yönetimi altında büyüdü, Berlin Üniversitesi'ndeki Crelle's Journal'a rakip oldu ve sonunda geçti. Klein, düzenli olarak toplanan ve demokratik bir ruhla kararlar alan küçük bir editörler ekibi kurdu. Dergi ilk olarak karmaşık analiz, cebirsel geometri ve değişmezlik teorisi alanlarında uzmanlaştı. Ayrıca gerçel analiz ve yeni grup teorisi için önemli bir çıkış noktası sağladı.

1893'te Klein, Dünya Kolomb Sergisi'nin bir parçası olarak Chicago'da düzenlenen Uluslararası Matematik Kongresi'nde önemli bir konuşmacıydı.^[7] Göttingen, kısmen Klein'in çabalarından dolayı 1893'te kadınları kabul etmeye başladı. Klein, hayranlık duyduğu Arthur Cayley'nin İngiliz öğrencisi Grace Chisholm Young tarafından Göttingen'de bir kadın tarafından yazılan ilk matematik doktora tezini yönetti. 1897'de Klein, Hollanda Kraliyet Sanat ve Bilim Akademisi'nin yabancı bir üyesi oldu.^[8]

1900'lerde Klein, okullarda matematik öğretimiyle ilgilenmeye başladı. 1905'te analitik geometrinin, diferansiyel ve integral Kalkülüsün temellerinin ve fonksiyon kavramının ortaokullarda öğretilmesini öneren bir planın formüle edilmesinde etkili oldu.^[9][10] Bu öneri, dünyanın birçok ülkesinde kademeli olarak uygulanmıştır. 1908'de Klein, Roma Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde Uluslararası Matematiksel Öğretim Komisyonu'nun başkanı seçildi.^[11] Onun rehberliğinde, Komisyon'un Almanlardan oluşan kısmı, Almanya'daki her seviyede matematik öğretimi üzerine birçok cilt yayınladı.

1893'te London Mathematical Society, Klein'a De Morgan Madalyası verdi. 1885'te Royal Society üyeliğine seçildi ve 1912'de Copley Madalyası ile ödüllendirildi. Ertesi yıl sağlığı bozuk olduğu için emekli oldu, ancak birkaç yıl daha evinde matematik öğretmeye devam etti.

Klein, I. Dünya Savaşı'nın ilk aşamalarında Almanya'nın Belçika'yı işgalini desteklemek için kaleme alınan Doksan Üçler Manifestosu'nun doksan üç imzacısından biriydi.

1925'te Göttingen'de öldü.

Çalışmaları[değiştir | kaynağı değiştir]

Klein'ın tezi, çizgi geometrisi ve mekaniğe uygulamaları, Weierstrass'ın temel bölenler teorisini kullanarak ikinci derece çizgi komplekslerini sınıflandırdı.

Klein'ın ilk önemli matematiksel keşifleri 1870'te yapıldı. Sophus Lie ile birlikte Kummer yüzeyindeki asimptotik çizgilerin temel özelliklerini keşfetti. Daha sonra bir grup izdüşümsel dönüşüm altında değişmeyen eğriler olan W-eğrilerini araştırdılar. Daha sonraki çalışmalarında önemli bir role sahip olacak olan grup kavramını Klein'a tanıtan Lie idi. Klein ayrıca Camille Jordan'dan da grupları öğrendi.^[12]

Klein, kendi adını taşıyan "Klein şişesini" tasarladı, üç boyutlu Öklid uzayına gömülemeyen tek taraflı kapalı bir yüzey, ancak "içeriden" diğer ucuyla birleşmek için kendi içinden geri dönen bir silindir olarak kendi içine daldırılır. 4 ve daha yüksek boyutlardaki Öklid uzayına gömülmüş olabilir. Klein şişesi konsepti, 3 boyutlu bir Möbius şeridi olarak tasarlandı ve bir yapım yöntemi, iki Möbius şeridinin kenarlarının bağlanmasıydı.^[13]

1890'larda Klein matematiksel fiziği daha yoğun bir şekilde çalışmaya başladı ve Arnold Sommerfeld ile jiroskop üzerine yazdı.^[14] 1894'te, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften adını alan, uygulamalarını da içeren bir matematik ansiklopedisi fikrini başlattı. 1935 yılına kadar ayakta kalan bu girişim, kalıcı değer konusunda önemli bir standart referans sağlamıştır.^[15]

Erlangen programı[değiştir | kaynağı değiştir]

1871'de Göttingen'deyken Klein geometride büyük keşifler yaptı. Öklidyen ve Öklidyen olmayan geometrilerin Cayley-Klein metriğiyle belirlenen metrik uzaylar olarak kabul edilebileceğini gösteren Öklid Olmayan Geometri Üzerine (On the So-called Non-Euclidean Geometry) adlı iki makale yayınladı. Bu içgörü, Öklid dışı geometrinin ancak ve ancak Öklid geometrisi olduğu takdirde tutarlı olduğu, Öklidyen ve Öklid dışı geometrilere aynı statüyü veren ve Öklid dışı geometri hakkındaki tüm tartışmaları sona erdiren sonuca sahipti.Arthur Cayley döngüsel olduğuna inandığı için Klein'ın argümanını asla kabul etmedi.

Erlangen programı (1872) olarak bilinen belirli bir dönüşüm grubu altında değişmeyen bir uzayın özelliklerinin incelenmesi olarak Klein'ın geometri sentezi, matematiğin evrimini derinden etkiledi. Bu program, Klein'ın Erlangen'de profesör olarak yaptığı açılış konuşmasıyla başlatıldı, ancak bu vesileyle yaptığı asıl konuşma değildi. Program, kabul gören modern yöntem haline gelen birleşik bir geometri sistemi önerdi. Klein, belirli bir geometrinin temel özelliklerinin, bu özellikleri koruyan dönüşüm grubu tarafından nasıl temsil edilebileceğini gösterdi. Böylece programın geometri tanımı hem Öklidyen hem de Öklid dışı geometriyi kapsıyordu.

Şu anda, Klein'ın geometriye katkılarının önemi açıktır. Matematiksel düşüncenin o kadar büyük bir parçası oldular ki, ilk sunulduğunda yeniliklerini takdir etmek ve çağdaşlarının tümü tarafından hemen kabul edilmediklerini anlamak zordur.

Karmaşık analiz[değiştir | kaynağı değiştir]

Klein, karmaşık analiz üzerindeki çalışmasını matematiğe yaptığı en büyük katkı olarak gördü, özellikle şu konulardaki çalışmaları:

• Riemann'ın belirli fikirleri ile değişmezlik teorisi arasındaki bağlantı,
• Sayı teorisi ve soyut cebir;
• Grup teorisi;
• 3'ten fazla boyutta geometri ve diferansiyel denklemler, özellikle kendi icat ettiği denklemler,

eliptik modüler fonksiyonlar ve otomorfik fonksiyonlar tarafından sağlanır.

Klein, modüler grubun, düzlemi mozaiklemek için karmaşık düzlemin temel bölgesini hareket ettirdiğini gösterdi. 1879'da modüler grubun bir görüntüsü olarak kabul edilen PSL (2, 7)'nin hareketini inceledi ve şimdi Klein dörtleniği olarak adlandırılan bir Riemann yüzeyinin açık bir temsilini elde etti. Denklemi ${\displaystyle x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0}$ olan eğirinin izdüşümsel uzayda karmaşık bir eğri ve simetri grubunun 168 dereceden PSL (2, 7) olduğunu gösterdi. Ueber Riemann'ın Theorie der cebebraischen Funktionen und ihre Integrale (1882) adlı eseri, karmaşık analizi geometrik bir şekilde ele alır ve potansiyel teori ile açıkorur gönderimleri birbirine bağlar. Bu çalışma akışkanlar dinamiğinden gelen fikirlere dayanıyordu.

Klein, derecesi > 4 olan denklemleri değerlendirdi ve özellikle beşinci derecenin genel denklemini çözmek için aşkın yöntemlerle ilgileniyordu. Charles Hermite ve Leopold Kronecker'in yöntemlerine dayanarak, Brioschi'ninkilere benzer sonuçlar verdi ve daha sonra problemi (yirmi eşkenar üçgen yüzlü) ikosahedral grubu aracılığıyla tamamen çözdü. Bu çalışma, eliptik modüler fonksiyonlar üzerine bir dizi makale yazmasını sağladı.

Klein, ikosahedron üzerine 1884 tarihli kitabında cebir ve geometriyi ilişkilendiren bir otomorfik fonksiyonlar teorisini kurdu. Poincaré, 1881'de otomorfik fonksiyonlar teorisinin bir taslağını yayınladı ve bu, iki adam arasında dostane bir rekabetle sonuçlandı. Her ikisi de yeni teoriyi daha eksiksiz bir şekilde kuracak büyük bir Tekdüzelik teoremini ifade etmeye ve kanıtlamaya çalıştı. Klein böyle bir teoremi formüle etmeyi ve bunu ispatlamak için bir strateji tanımlamayı başardı.

Klein, otomorfik ve eliptik modüler fonksiyonlar hakkındaki çalışmasını, Robert Fricke ile 20 yıllık bir süre boyunca yazdığı dört ciltlik bir incelemede özetledi.

Bazı çalışmaları[değiştir | kaynağı değiştir]

• 1882: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale, JFM 14.0358.01 
• Gutenberg Projesi'nde e-text , also available from Cornell
• 1884:Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade
  • English translation by G. G. Morrice (1888) Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Über die hypergeometrische Funktion, 9 Ağustos 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 12 Aralık 2020 
• 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: (Arnold Sommerfeld ile) Theorie des Kreisels (later volumes: 1898, 1903, 1910)
• 1890: (Robert Fricke ile) Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen (2 cilt)^[16] and 1892)
• 1894: Evanston Colloquium (1893) reported and published by Ziwet (New York, 1894)^[17]
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen (Almanca), Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 ^[18] Zweiter Band. 1901.^[18]
• 1901: Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein, 9 Ağustos 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 12 Aralık 2020 ^[19]
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (Almanca), Leipzig: B. G. Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM 32.0430.01 
• 1897: Mathematical Theory of the Top (Princeton address, New York)^[20]
• 1895: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie^[21]
  • 1897: English translation by W. W. Beman & D. E. Smith Famous Problems of Elementary Geometry via Internet Archive
• 1908: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (Leipzig)
• 1926: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (2 Bände), Julius Springer Verlag, Berlin^[22] & 1927. S. Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, 25 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi 
• 1928: Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer Verlag^[23]
• 1933: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer Verlag

Bibliografya[değiştir | kaynağı değiştir]

• Ewald, William B., (Ed.) (1996) [1887], "The arithmetizing of mathematics", Kant'tan Hilbert'e: Matematiğin Temellerinde Bir Kaynak Kitap (From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics), 2 vols [Matematiğin aritmetikleştirilmesi] (PDF), Oxford Uni. Press, ss. 965-71, 27 Haziran 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 12 Aralık 2020 
• R. Fricke & A. Ostrowski, (Ed.) (1921), Felix Klein gesammelte mathematische Abhandlungen (3 cilt), Berlin: Springer, 19 Temmuz 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 12 Aralık 2020 KB1 bakım: Editörler parametresini kullanan (link)
• Nicht-Euklidische Geometrie (Almanca), 1890, 19 Temmuz 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 12 Aralık 2020 

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Konuyla ilgili yayınlar[değiştir | kaynağı değiştir]

• David Mumford, Caroline Series, and David Wright Indra'nın İncileri: Felix Klein'ın Vizyonu. Cambridge Univ. Press. 2002.
• Tobies, Renate (Fritz König ile birlikte) Felix Klein. Teubner Verlag, Leipzig 1981.
• Rowe, David "Felix Klein, David Hilbert ve Göttingen Matematiksel Geleneği (Felix Klein, David Hilbert, and the Göttingen Mathematical Tradition)", Almanya'da Bilim: Kurumsal ve Entelektüel Sorunların Kesişimi'nde (in Science in Germany: The Intersection of Institutional and Intellectual Issues), Kathryn Olesko, ed., Osiris, 5 (1989), 186–213.
• Federigo Enriques (1921). "L'oeuvre mathematique de Klein". Scientia. 30 Haziran 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. .

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Wikimedia Commons'ta Felix Klein ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

Vikisöz'de Felix Klein ile ilgili sözleri bulabilirsiniz.

• Felix Klein çalışmaları – Gutenberg Projesi
• Internet Archive'daki Felix Klein tarafından oluşturulan ya da hakkındaki eserler
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Felix Klein", MacTutor Matematik Tarihi arşivi 
• Mathematics Genealogy Project'te Felix Klein
• Weisstein, Eric Wolfgang ((Ed.)). "Klein, Felix (1849–1925)". ScienceWorld. 20 Şubat 2002 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Şubat 2021. 
• "Felix Klein Protokolle". 16 Nisan 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Şubat 2021. 
• "Felix Klein". Encyclopædia Britannica. 26 Haziran 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Şubat 2021. 
• F. Klein. "On the theory of line complexes of first and second order" [Birinci ve ikinci dereceden çizgi kompleksleri teorisi üzerine] (PDF). D. H. Delphenich tarafından çevrildi. 21 Ekim 2013 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Şubat 2021. 
• F. Klein. "On line geometry and metric geometry" [Çizgi üzerinde geometri ve metrik geometri] (PDF). D. H. Delphenich tarafından çevrildi. 21 Ekim 2013 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Şubat 2021. 
• F. Klein. "On the transformation of the general second-degree equation in line coordinates into canonical coordinates" [Çizgi koordinatlarındaki genel ikinci derece denklemin kanonik koordinatlara dönüştürülmesi üzerine] (PDF). D. H. Delphenich tarafından çevrildi. 21 Ekim 2013 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Şubat 2021.