Bu madde hiçbir kaynak içermemektedir. Lütfen güvenilir kaynaklar ekleyerek madde içeriğinin geliştirilmesine yardımcı olun. Kaynaksız içerik itiraz konusu olabilir ve kaldırılabilir. Kaynak ara: "Üstel fonksiyon" – haber · gazete · kitap · akademik · JSTOR (Haziran 2016) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin)

Üstel
Reel eksenin bir kısmı boyunca doğal üstel fonksiyon
Genel bilgiler
Genel tanım	${\displaystyle \exp z=e^{z}}$
Tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi
Tanım kümesi	${\displaystyle \mathbb {C} }$
Görüntü kümesi	${\displaystyle {\begin{cases}(0,\infty )&{\text{for }}z\in \mathbb {R} \\\mathbb {C} \setminus \{0\}&{\text{for }}z\in \mathbb {C} \end{cases}}}$
Belirli değerler
Sıfırda değeri	1
1 nok. değeri	e
Belirli özellikler
·	−Wn(−1) for ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$
İlgili fonksiyonlar
Çarpımsal ters	${\displaystyle \exp(-z)}$
Ters	Doğal logaritma, Karmaşık logaritma
Türev	${\displaystyle \exp 'z=\exp z}$
Terstürev	${\displaystyle \int \exp z\,dz=\exp z+C}$
Seri tanımı
Taylor serisi	${\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

Üstel işlev veya üstel fonksiyon, matematikte kullanılan işlevlerden biridir. Genel tanımı a^x şeklindedir, burada taban a artı değere sahip bir sabittir ve üst x değişkendir. Çoğunlukla

${\displaystyle e^{x}}$ sembolüyle gösterilir. Kimi kitaplarda ise;

${\displaystyle e^{x}=exp(x)}$ sembolü kullanılır.

Burada e, yaklaşık değeri 2,718 olan Euler sayısını temsil eder, x ise gerçel ya da karmaşık bir değişkendir. Kuvvet fonksiyonunun tersine, değişken tabanda değil üstte olduğu için bu fonksiyona üstel denir.^[1]

Bazı kaynaklarda üstel fonksiyon, herhangi bir pozitif a tabanı için a^x olarak tanımlanır. Bu maddede e tabanlı üstel fonksiyon anlatılacaktır. (Farklı tabanlı üstel fonksiyonlar a^x = e^{x·ln a} bağlantısı sayesinde e tabanlı üstel fonksiyona dönüştürülebilirler, bu yüzden de e tabanlı fonksiyonu incelemek yeterlidir.)

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçel değişkenli üstel fonksiyon için birbirine eşdeğer olan birkaç tanım verilebilir. Bunlardan bazıları şöyledir:

• Limit tanımı:

${\displaystyle \,e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

• Sonsuz seri tanımı:

${\displaystyle \,e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots }$

• Türevsel denklem tanımı:

${\displaystyle \,y'(x)=y}$  ve  ${\displaystyle \,y(0)=1}$  eşitliklerini sağlayan  ${\displaystyle \,y(x)}$  fonksiyonuna  ${\displaystyle \,e^{x}}$  denir.

• İntegral tanımı:

${\displaystyle \,\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt=x}$  eşitliğini sağlayan pozitif  ${\displaystyle \,y}$  sayısına  ${\displaystyle \,e^{x}}$  denir.

Bu tanımların geçerli ve eşdeğer oldukları pek çok matematiksel analiz kaynağında gösterilir. İlk üç tanım, hiçbir değişiklik yapmadan, karmaşık değişkenli üstel fonksiyon için de verilebilir.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki tanımlardan herhangi birinden yola çıkılarak şu özellikler kanıtlanabilir:

• ${\displaystyle \,\!\,e^{0}=1}$
• ${\displaystyle \,\!\,e^{1}=e}$
• ${\displaystyle \,\!\,e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$
• ${\displaystyle \,\!\,e^{xy}=\left(e^{x}\right)^{y}}$
• ${\displaystyle \,\!\,{1 \over e^{x}}=\left({1 \over e}\right)^{x}=e^{-x}}$
• ${\displaystyle \,\!\,e^{ln(x)}=x}$

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]