Bakhshali el yazması

Bakhshali el yazması
Bakhshali el yazması
Bodleian Kütüphanesi, Oxford Üniversitesi
	Bakhshali el yazmalarından biri.
Tür	Matematiksel metin
Tarih	MS 224–383 / 885–993 (Son zamanlarda metodolojik gerekçelerle tartışmalı olan önerilen karbon tarihleri: Plofker et al. 2017, Houben 2018 §3)
Menşei	Bakhshali
Malzeme	Huş kabuğu
Biçim	70 yaprak
Durum	İnceleme için çok kırılgan
Yazı türü	Śāradā el yazısı
Konu(lar)	Matematik metni

Bakhshali el yazması, 1881'de Mardan, Bakhshali köyünde (günümüz Pakistan'ında Peşaver yakınında) bulunan huş ağacı kabuğu üzerine yazılmış eski bir Hint matematik metnidir. Belki de "Hint matematiğindeki en eski el yazmasıdır."^[4] Bazı kısımlar için MS 224-383 karbon tarihi önerilmişken, diğer kısımlar için yakın tarihli bir çalışmada MS 885-993 kadar geç bir karbon tarihi önerilmiştir ancak tarihlendirme, metodolojik gerekçelerle uzmanlar tarafından eleştirilmiştir (Plofker ve diğerleri 2017^[1] ve Houben 2018 §3^[2]). El yazması, eksi Hint kültüründe sıfır simgesinin bilinen en eski kullanımını içermektedir.^[5]^[6] Yerel lehçelerin önemli etkisiyle Sanskritçe yazılmıştır.^[4]

Keşif[değiştir | kaynağı değiştir]

El yazması, 1881'de,^[7] şimdi Pakistan'ın Khyber Pakhtunkhwa kentinde bulunan Mardan yakınlarındaki Bakhshali köyündeki bir köylü tarafından bir tarlada ortaya çıkarıldı.^[4] El yazması üzerine ilk araştırma A. F. R. Hoernlé tarafından yapılmıştır.^[4]^[8] Ölümünden sonra, eserin editörlüğünü yapan ve 1927 yılında kitap olarak yayımlayan G. R. Kaye tarafından incelenmiştir.^[9]

Mevcut el yazması eksiktir, amaçlanan sırası bilinmeyen^[4] yetmiş huş ağacı kabuğundan^[4]^[7] oluşur. Oxford Üniversitesi^[4]^[7] (MS. Sansk. d. 14) Bodleian Kütüphanesi'ndedir ve bilim adamları tarafından incelenemeyecek kadar kırılgan olduğu söylenir.

İçerik[değiştir | kaynağı değiştir]

Bakhshali el yazmasında kullanılan rakamların, MS 3. ve 7. yüzyıllar arasında bir tarihe ait olduğu düşünülmektedir.

El yazması, kurallar ve açıklayıcı örneklerden oluşan bir özettir. Her örnek bir problem olarak belirtilir, çözümü anlatılır ve problemin çözüldüğü doğrulanır. Örnek problemler şiir içindedir ve yorum hesaplamalarla ilişkili düzyazıdadır. Problemler, ölçme dahil olmak üzere aritmetik, cebir ve geometri ile ilgilidir. Kapsanan konular arasında kesirler, karekökler, aritmetik ve geometrik diziler, basit denklemlerin çözümleri, simultane doğrusal denklemler, ikinci dereceden denklemler ve ikinci derece belirsiz denklemler bulunmaktadır.^[9]^[10]

Kompozisyon[değiştir | kaynağı değiştir]

El yazması, Keşmir ve komşu bölgeler gibi Hindistan'ın kuzeybatı kesiminde, esas olarak 8. yüzyıldan 12. yüzyıla kadar kullanıldığı bilinen bir el yazısı olan Śāradā yazısının daha önceki bir biçiminde yazılmıştır.^[4] Yazının dilinin^[a], Sanskritçe olması amaçlansa da, fonetik ve morfolojisinde yerel bir lehçe veya lehçelerden önemli ölçüde etkilenmiştir ve metnin ortaya çıkan bazı dil özellikleri, Budist Melez Sanskritçe ile paylaşılmıştır. Üst lehçeler, Apabhraṃśa ve Eski Keşmir ile yakın özellikler göstermelerine rağmen, kesin olarak tanımlanmamıştır.^[11] Kuralların ve örneklerin çoğunun orijinal olarak Sanskritçe yazılmış olması muhtemeldir, oysa bölümlerden biri tamamen bir lehçeyle yazılmıştır.^[12] El yazmasının, farklı dil çeşitlerinde düzenlenmiş farklı eserlerin parçalarının bir derlemesi olması olasıdır.^[11] Hayashi, bazı düzensizliklerin yazarların hatalarından kaynaklandığını veya imla hataları olabileceğini kabul edtmektedir.^[13]

Bölümlerden birinin yayınevi ambleminde, "Chajaka'nın oğlu" olarak tanımlanan bir brahmin, "hesap makineleri kralı" tarafından Vasiṣṭha'nın oğlu Hasika'nın kullanımı için yazıldığını belirtir. Brahmin, tefsirin yazarı olduğu gibi el yazmasının yazarı da olabilirdi.^[10] Yayınevi ambleminin yakınında tam okunamayan bir kelime olan rtikāvati, Varāhamihira tarafından Hindistan'ın kuzeybatısındaki (Takṣaśilā, Gandhāra vb. ile birlikte), el yazmasının yazılmış olabileceği varsayılan yer olarak anılan Mrtikāvata yeri olarak yorumlanmıştır.^[4]

Matematik[değiştir | kaynağı değiştir]

El yazması, matematiksel kurallar ve örnekler (şiirde) ve bu şiirler üzerine düzyazı yorumlarının bir derlemesidir.^[4] Tipik olarak, bir veya daha fazla örnekle birlikte bir kural verilir; burada her örneğin, örneğin sayısal bilgilerinin tablo biçiminde bir "ifadesi" (nyāsa / sthāpanā), daha sonra örneği alıntılarken, kuralı adım adım izleyerek gerçekleştiren bir hesaplama ve son olarak çözümün problemi tatmin ettiğini doğrulamak için bir doğrulama gelir.^[4] Bu, Bhāskara I'in Āryabhaṭīya adlı eserin gaṇita (matematik) bölümü hakkındaki yorumuna benzer bir tarzdır ve daha sonraki çalışmalarda kullanılmayan doğrulama vurgusu da dahildir.^[4]

Kurallar, algoritmalar ve doğrusal denklem sistemleri, ikinci dereceden denklemler, aritmetik diziler ve aritmetik-geometrik seriler, yaklaşık olarak karekökleri hesaplama, negatif sayılarla uğraşma (kar ve zarar), altının inceliği gibi ölçümler vb. gibi çeşitli problemler için tekniklerdir.^[7]

Matematiksel içerik[değiştir | kaynağı değiştir]

Akademisyen Takao Hayashi, el yazmasının metnini birkaç Sanskritçe metinle karşılaştırdı.^[4] Bir pasajın Mahabharata 'dan birebir alıntı olduğundan bahseder. Ramayana, Vayupurana, Kshemendra'nın Lokaprakasha 'sı vb. gibi eserlerdeki benzer pasajları tartışır. Matematiksel kurallardan bazıları aynı zamanda, Aryabhatta'nın Aryabhatiya 'sında, Bhaskara'nın Aryabhatiyabhashya 'sında, Sridhara'nın Patiganita ve Trairashika 'sında, Mahavira'nın Ganitasarasamgraha 'sında ve Lilaganita ile Bhaskara II'nin Bijaganita 'sında görülür. Patan Jain kütüphanesindeki Thakkar Pheru 'dan sonraki isimsiz bir el yazması, çeşitli kaynaklardan matematiksel kuralların bir derlemesidir ve Bakhshali el yazmasına benzer, bir örnekteki veriler çarpıcı şekilde benzerlik içerir.^[14]

Rakamlar ve sıfır[değiştir | kaynağı değiştir]

Bakhshali el yazması, sıfır yerine yer tutucu olarak nokta kullanan, basamak-değer sistemine sahip sayılar kullanır.^[15] Nokta sembolü shunya-bindu (kelimenin tam anlamıyla boş yerin noktası) olarak adlandırılmaya başlandı. Kavramla ilgili referanslar, bilim adamı Maan Singh tarafından 385 ve 465 arasına tarihlenen Subandhu'nun Vasavadatta 'sında bulunur.^[16]

2017 karbon tarihlemesinden önce –ancak bu arada ek çalışmalar yapılmıştır, detay için aşağıya Tarihlendirme başlığına bakınız– Gwalior, Madhya Pradesh'teki bir tapınağın duvarındaki 9. yüzyıldan kalma sıfır yazıtının, Hint kültüründe sıfır simgesinin en eski kullanımı olduğu düşünülüyordu.^[6]

Tarihlendirme[değiştir | kaynağı değiştir]

2017 yılında, radyokarbon tarihlendirmeyi içeren bir çalışma temelinde, el yazmasından üç örneğin, MS 224–383, 680–779 ve 885–993'ten üç farklı yüzyıldan geldiği düşünülüyordu. Tarihler doğru kabul edilirse, farklı yüzyıllara ait parçaların nasıl bir araya getirildiği bilinmemektedir.^[5]^[6]^[17]

Bakhshali el yazmasının tarihiyle ilgili tüm ilgili kanıtların ayrıntılı bir şekilde yeniden değerlendirilmesi, Kim Plofker, Agathe Keller, Takao Hayashi, Clemency Montelle ve Dominik Wujastyk'i şu sonuca götürdü: "Bodleian Kütüphanesi'nin karbon tarihleme bulgularını aylarca ambargo altında tutmasından ve ardından bu teknik ve tarihi konuların ilk iletişimi için medya olarak bir gazete basın bültenini ve YouTube'u seçmesinden dolayı üzgünüz. Böylece Kütüphane, kamuya açık duyurulardan önce ciddi meslektaşlarla tartışmaya ve meslektaş incelemesine izin veren standart akademik kanalları atladı. ... araştırmacıları, bulgularını tarihsel bilgi ve başka yollarla elde edilen çıkarımlarla uzlaştırmanın önemini düşünmeye çağırıyoruz. Aceleyle, fiziksel testlerden elde edilen sonuçların, öne sürdükleri sonuçlar tarihsel olarak saçma görünse bile geçerli olması gerektiği varsayılmamalıdır."^[1]

Kanıtların Kim Plofker ve diğerleri tarafından ayrıntılı olarak yeniden değerlendirilmesine atıfta bulunan Jan Houben, "Aynı el yazmasının örneklerinin yüzyıllarca ayrı olacağı bulgusu, örnekleme prosedüründeki vb. hatalara dayanmıyorsa veya el yazması o sırada kısmen eski, geri dönüştürülmüş sayfalar üzerine yazılmamışsa, Bodleian araştırma ekibi tarafından açıkça gözden kaçan bazı faktörler var: farklı irtifalarda kozmik radyasyona maruz kalmadaki iyi bilinen sapma ve arka plandaki radyasyondaki olası varyasyon, açıkta kalan, dağlık kayalarda belirli minerallerin varlığı nedeniyle hiçbir yerde hesaba katılmamıştır. Karbon tarihleri değişkenleri arasında, yazıdaki çeşitlilik ve dilsel çeşitlilik, ilkin en nesnel şey olsa da, nispeten yakın geçmişe ait tarihler için kalibrasyona hala çok ihtiyaç duymaktadır."^[2]

2017 çalışmasının önerilen radyokarbon tarihlerinden önce, çoğu bilim insanı fiziksel el yazmasının, tarihi kısmen içeriğine göre tahmin edilmesi gerekse de, daha eski bir metnin bir kopyası olduğu konusunda hemfikirdi. Hoernlé, el yazmasının 9. yüzyıla ait olduğunu, ancak orijinalin 3. veya 4. yüzyıla ait olduğunu düşünüyordu.^[b] Hint bilim adamları buna daha erken bir tarih atadı. Datta onun "Hristiyan döneminin ilk yüzyıllarına" ait olduğunu söyledi.^[9] Channabasappa, Aryabhata'dan farklı matematiksel terminoloji kullandığı gerekçesiyle MS 200-400'e tarih verdi.^[19] Hayashi, el yazması ile Bhaskara I'in çalışması (MS 629) arasındaki bazı benzerliklere dikkat çekti ve "Bhaskara I'den çok sonra olmadığını" söyledi.^[4] Bakhshali el yazmasının tarihini belirlemek için dil kullanımı ve özellikle paleografi dikkate alınması gereken diğer önemli parametrelerdir. Bu bağlamda Jan Houben şunları gözlemledi: "Sanskritçe - yaklaşık sanskritçe boyutundaki dilbilimsel kullanımın güçlü normatifliği göz önüne alındığında, gözlemlenen dilsel çeşitlemeden doğrusal bir kronolojik fark çıkarmak zordur.". Aynı zamanda yazma eylemi, normatif bir faaliyettir ve dahası, yazardan yazara bir miktar bireysel değişime bağlıdır. Bununla birlikte, yazı, daha sonraki nesil yazarlar tarafından erken dönem senaryolarının yoğun çalışmasına ya da daha sonraki yazı biçimlerindeki arkaizmlerin bilinçli olarak yeniden tanıtılmasına çok daha az konu olmuştur (dilde görülen bir şeydir, en ünlüsü Mahābhārata'nın bazı kısımlarında ve Bhāgavatapur'da üzerinde çalışılmış olan arkaize edici-eski gibi göstermek- "Vedik" dil kullanımıdır). Bu nedenle, teleolojik olarak Proto-Śāradā olarak adlandırdığı şeyin "ilk olarak yedinci yüzyılın ortalarında ortaya çıktığını" gözlemleyen Richard Salomon gibi paleografların yargılarını oldukça ciddiye almalıyız (Salomon 1998: 40). Bu, üzerinde tam gelişmiş bir Śāradā biçiminin göründüğü el yazması yapraklara atfedilen daha önceki tarihleri hariç tutar. Bakhshali ve bölümleri gibi bir el yazmasının tarihini yargılamak için "en zor" kanıt bu nedenle paleografik kanıt olacaktır. Radyokarbon tarihlemesinin laboratuvar sonuçları da dahil olmak üzere diğer kanıtlar, paleografik çalışma ile ulaşılan sonuçların ışığında dikkatlice yorumlanmalıdır."^[2]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Dipnotlar[değiştir | kaynağı değiştir]

^ "Düzensiz Sanskritçe" (Kaye 2004, s. 11) veya sözde Kuzeybatı Prakrit'in edebi biçimi olan Gāthā lehçesi, Sanskritçe ve Prakrit unsurlarını birleştiren bir edebi dil olarak kullanımı, bu amaç için Klasik Sanskritçe'nin benimsenmesinden önce gelmiştir. (Hoernle 1887, s. 10)
^ G. R. Kaye ise 1927'de eserin 12. yüzyılda yapıldığını düşündü,^[4]^[9] ancak son zamanlarda yapılan araştırmalarda bu dikkate alınmadı. G. G. Joseph, "Kaye'nin hala Hint matematiği üzerinde bir otorite olarak alıntılanması özellikle talihsiz bir durumdur" diye yazdı.^[18]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

^ ^a ^b ^c Kim Plofker, Agathe Keller, Takao Hayashi, Clemency Montelle & Dominik Wujastyk (2017). "The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating". History of Science in South Asia. ss. 134-150. 4 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.
^ ^a ^b ^c ^d Jan E.M. Houben “Linguistic Paradox and Diglossia: on the emergence of Sanskrit and Sanskritic language in Ancient India.” De Gruyter Open Linguistics (Topical Issue on Historical Sociolinguistic Philology, ed. by Chiara Barbati and Christian Gastgeber.) OPLI – Vol. 4, issue 1: 1-18. DOI: 10.1515/opli-2018-0001
^ Tüm sayfaların fotoğrafı çekilmiş olup Hayashi'nin kitabından ulaşılabilir.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o Takao Hayashi (2008), "Bakhshālī Manuscript", Helaine Selin (Ed.), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, 1, Springer, ss. B1-B3, ISBN 9781402045592
^ ^a ^b Devlin, Hannah (13 Eylül 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077. 20 Kasım 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 14 Eylül 2017.
^ ^a ^b ^c "Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'". Bodleian Library. 14 Eylül 2017. 14 Eylül 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 14 Eylül 2017.
^ ^a ^b ^c ^d John Newsome Crossley; Anthony Wah-Cheung Lun; Kangshen Shen; Shen Kangsheng (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. ISBN 0-19-853936-3.
^ Hoernle 1887.
^ ^a ^b ^c ^d Bibhutibhusan Datta (1929). "Book Review: G. R. Kaye, The Bakhshâlî Manuscript—A Study in Mediaeval Mathematics, 1927". 35 (4). Bull. Amer. Math. Soc.: 579-580. 29 Kasım 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 17 Eylül 2020.
^ ^a ^b Plofker, Kim (2009), Mathematics in India, Princeton University Pres, s. 158, ISBN 978-0-691-12067-6
^ ^a ^b Hayashi 1995, s. 54.
^ Section VII 11, corresponding to folio 46^v.Hayashi 1995, s. 54
^ Hayashi 1995, s. 26.
^ Hayashi, T. (1986). The Bakhshali Manuscript (History, Mathematics, Sanskrit, India)
^ Pearce, Ian (Mayıs 2002). "The Bakhshali manuscript". The MacTutor History of Mathematics archive. 17 Ocak 2002 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Temmuz 2007.
^ Singh, Maan (1993). Subandhu, New Delhi: Sahitya Akademi, 81-7201-509-7, ss. 9–11.
^ Mason, Robyn (14 Eylül 2017). "Oxford Radiocarbon Accelerator Unit dates the world's oldest recorded origin of the zero symbol". School of Archaeology, University of Oxford. 14 Eylül 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 14 Eylül 2017.
^ Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock, non-European roots of Mathematics, Princeton University Press, ss. 215-216
^ E. F. Robinson (Mayıs 2002). "The Bakhshali manuscript". The MacTutor History of Mathematics archive. 9 Ağustos 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Temmuz 2007.

Bibliyografya[değiştir | kaynağı değiştir]

Hayashi, Takao (1995). The Bakhshālī manuscript: an ancient Indian mathematical treatise. Groningen Oriental studies. Groningen: Egbert Forsten. ISBN 978-90-6980-087-5.
Hoernle, Augustus (1887), On the Bakshali manuscript, Viyana: Alfred Hölder (Editor of the Court and of the University)
Kaye, George Rusby (2004) [1927]. The Bakhshālī manuscripts: a study in medieval mathematics. New Delhi: Aditya Prakashan. ISBN 978-81-7742-058-6.
Kim Plofker; Agathe Keller; Takao Hayashi; Clemency Montelle & Dominik Wujastyk, "The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating", History of Science in South Asia, 5 (1), ss. 134-150, doi:10.18732/H2XT07, 4 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi

Konuyla ilgili yayınlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Sarasvati, Svami Satya Prakash; Jyotishmati, Usha (1979), The Bakhshali Manuscript: An Ancient Treatise of Indian Arithmetic (PDF), Allahabad: Dr. Ratna Kumari Svadhyaya Sansthan, 20 Haziran 2014 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 19 Ocak 2016 with complete text in Devanagari, 110 pages
M N Channabasappa (1976). "On the square root formula in the Bakhshali manuscript" (PDF). Indian J. History Sci. 11 (2): 112-124. 16 Mart 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 17 Eylül 2020.
David H. Bailey, Jonathan Borwein (2011). "A Quartically Convergent Square Root Algorithm: An Exercise in Forensic Paleo-Mathematics" (PDF). 22 Aralık 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 17 Eylül 2020.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

"The Bakhshali manuscript". 9 Ağustos 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi.
"6– The Bakhshali manuscript". 18 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi.
Hoernle: On the Bakhshali Manuscript, 1887, archive.org
"A Big Zero: Research uncovers the date of the Bakhshali Manuscript". University of Oxford. 20 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. YouTube video
"The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating". 4 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.

[11] "Düzensiz Sanskritçe" (Kaye 2004, s. 11) veya sözde Kuzeybatı Prakrit'in edebi biçimi olan Gāthā lehçesi, Sanskritçe ve Prakrit unsurlarını birleştiren bir edebi dil olarak kullanımı, bu amaç için Klasik Sanskritçe'nin benimsenmesinden önce gelmiştir. (Hoernle 1887, s. 10)

[20] G. R. Kaye ise 1927'de eserin 12. yüzyılda yapıldığını düşündü,^[4]^[9] ancak son zamanlarda yapılan araştırmalarda bu dikkate alınmadı. G. G. Joseph, "Kaye'nin hala Hint matematiği üzerinde bir otorite olarak alıntılanması özellikle talihsiz bir durumdur" diye yazdı.^[18]

[journals.library.ualberta.ca-1] Kim Plofker, Agathe Keller, Takao Hayashi, Clemency Montelle & Dominik Wujastyk (2017). "The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating". History of Science in South Asia. ss. 134-150. 4 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.

[doi.org-2] Jan E.M. Houben “Linguistic Paradox and Diglossia: on the emergence of Sanskrit and Sanskritic language in Ancient India.” De Gruyter Open Linguistics (Topical Issue on Historical Sociolinguistic Philology, ed. by Chiara Barbati and Christian Gastgeber.) OPLI – Vol. 4, issue 1: 1-18. DOI: 10.1515/opli-2018-0001

[3] Tüm sayfaların fotoğrafı çekilmiş olup Hayashi'nin kitabından ulaşılabilir.

[HayashiEncy-4] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o Takao Hayashi (2008), "Bakhshālī Manuscript", Helaine Selin (Ed.), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, 1, Springer, ss. B1-B3, ISBN 9781402045592

[Devlin-5] Devlin, Hannah (13 Eylül 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077. 20 Kasım 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 14 Eylül 2017.

[Bodleian_Library-6] "Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'". Bodleian Library. 14 Eylül 2017. 14 Eylül 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 14 Eylül 2017.

[NineChapters-7] John Newsome Crossley; Anthony Wah-Cheung Lun; Kangshen Shen; Shen Kangsheng (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. ISBN 0-19-853936-3.

[FOOTNOTEHoernle1887-8] Hoernle 1887.

[Kaye_review-9] Bibhutibhusan Datta (1929). "Book Review: G. R. Kaye, The Bakhshâlî Manuscript—A Study in Mediaeval Mathematics, 1927". 35 (4). Bull. Amer. Math. Soc.: 579-580. 29 Kasım 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 17 Eylül 2020.

[Plofker-10] Plofker, Kim (2009), Mathematics in India, Princeton University Pres, s. 158, ISBN 978-0-691-12067-6

[FOOTNOTEHayashi199554-12] Hayashi 1995, s. 54.

[13] Section VII 11, corresponding to folio 46^v.Hayashi 1995, s. 54

[FOOTNOTEHayashi199526-14] Hayashi 1995, s. 26.

[15] Hayashi, T. (1986). The Bakhshali Manuscript (History, Mathematics, Sanskrit, India)

[16] Pearce, Ian (Mayıs 2002). "The Bakhshali manuscript". The MacTutor History of Mathematics archive. 17 Ocak 2002 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Temmuz 2007.

[singh1-17] Singh, Maan (1993). Subandhu, New Delhi: Sahitya Akademi, 81-7201-509-7, ss. 9–11.

[18] Mason, Robyn (14 Eylül 2017). "Oxford Radiocarbon Accelerator Unit dates the world's oldest recorded origin of the zero symbol". School of Archaeology, University of Oxford. 14 Eylül 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 14 Eylül 2017.

[19] Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock, non-European roots of Mathematics, Princeton University Press, ss. 215-216

[MacTutor-21] E. F. Robinson (Mayıs 2002). "The Bakhshali manuscript". The MacTutor History of Mathematics archive. 9 Ağustos 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Temmuz 2007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[a]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[b]

[19]

[18]

Bakhshali el yazması nedir?, Bakhshali el yazması anlamı nedir?, Bakhshali el yazması ne demektir?