Fizikte akustik dalga denklemi, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler. Denklemin biçimi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemdir. Denklem, akustik basınç ${\displaystyle p}$ ve parçacık hızı u nun gelişimini, konum r ve zaman ${\displaystyle t}$ türünden fonksiyon olarak ifade eder. Denklemin basitleştirilmiş bir formu akustik dalgaları sadece bir boyutlu uzayda, daha genel formu ise dalgaları üç boyutta tanımlar.

Tek boyutta[değiştir | kaynağı değiştir]

Denklem[değiştir | kaynağı değiştir]

Sesin madde içerisindeki davranışını tek boyutta tanımlayan dalga denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir,^[1]

${\displaystyle {\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}$

${\displaystyle p}$ akustik basıncı(ortam basıncından değişimi), ${\displaystyle c}$ ise ses hızını gösteriyor.

Çözüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Hızın ${\displaystyle c}$ sabit olduğu düşünüldüğünde, frekansa bağlı olmadan(dağılım olmayan durumda) en genel çözüm;

${\displaystyle p=f(ct-x)+g(ct+x)}$

${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ iki kere türevlenebilen fonksiyonlardır. İki hareket eden dalganın üst üste binmesi olarak görülebilir, (${\displaystyle f}$) pozitif x-ekseninde, (${\displaystyle g}$) ise negatif x-ekseninde ${\displaystyle c}$ hızıyla hareket eder. Tek bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası ise f veya g den birinin sinüsoid ve diğerinin sıfır olması ile elde edilir.

${\displaystyle p=p_{0}\sin(\omega t\mp kx)}$.

${\displaystyle \omega }$ dalganın açısal frekansını, ${\displaystyle k}$ ise dalga sayısını verir.

Elde etme[değiştir | kaynağı değiştir]

Dalga denklemi lineerize edilmiş tek boyutlu süreklilik denkleminden, tek boyutlu kuvvet denkleminden ve hal denkleminden elde edilebilir Hal denklemi(ideal gaz yasası):

${\displaystyle PV=nRT}$

Adiabatik(ısı almayan) işlemde, basınç P yoğunluğun ${\displaystyle \rho }$ bir fonksiyonudur ve şu şekilde lineerize edilebilir;

${\displaystyle P=C\rho \,}$

C herhangi bir katsayı. Basınç ve yoğunluğu ortalama ve toplam bileşenlerine ayırırsak:

${\displaystyle P-P_{0}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)(\rho -\rho _{0})}$.

Akışkanlar için adiabatik hacim modülü;

${\displaystyle B=\rho _{0}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{adiabatic}}$

Şu sonucu verir:

${\displaystyle P-P_{0}=B{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}}$.

Yoğunlaşma, s, verilen bir akışkan yoğunluğu için yoğunluktaki değişme olarak tanımlanır.

${\displaystyle s={\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}}$

Lineerize edilmiş hal denklemi buna dönüşür:

${\displaystyle p=Bs\,}$

P akustik basınç (P − P₀).

Süreklilik denklemi(kütle korunumu) tek boyutta şöyledir:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0}$.

Denklem lineerize edilmeli ve değişkenler yine ortalama ve değişen bileşenlerine ayrılmalıdır.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho _{0}s)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho _{0}u+\rho _{0}su)=0}$

Tekrar düzenleyerek ve ortam yoğunluğunun zamana veya konuma bağlı değişmediğine, aynı zamanda hız ile yoğunluğun çarpımının çok küçük bir sayı olduğuna dikkat ederek şunu yazabiliriz:

${\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}u=0}$

Euler’ın Kuvvet yasası(momentum korunumu) gereken sonunsur. Tek boyutta denklem:

${\displaystyle \rho {\frac {Du}{Dt}}+{\frac {\partial P}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle D/Dt}$ ileten, kayda değer veya gerekli türevdir, sabit bir noktadan ziyade ortamla beraber hareket eden bir noktadaki türevdir. Değişkenleri lineerize edersek:

${\displaystyle (\rho _{0}+\rho _{0}s)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}\right)u+{\frac {\partial }{\partial x}}(P_{0}+p)=0}$.

Küçük terimleri yok sayıp yeniden düzenlersek denkem bu hale gelir:

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}=0}$.

Süreklilik denkleminin zamana göre, kuvvet denkleminin ise konuma göre türevlerini alırsak:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}=0}$

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0}$.

İlk denklemi ${\displaystyle \rho _{0}}$ ile çarpar, birbirlerinden çıkarır ve hal denkleminin lineerize edilmiş formunu yerine koyarsak:

${\displaystyle -{\frac {\rho _{0}}{B}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0}$

Son hali şu olur:

${\displaystyle {\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}}}$ yayılma hızıdır

Üç boyutta[değiştir | kaynağı değiştir]

Denklem[değiştir | kaynağı değiştir]

Feynman^[1] üç boyutta sesin ortamdaki dalga denklemini şöyle elde etmiştir:

${\displaystyle \nabla ^{2}p-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}}$ Laplace operatörü, ${\displaystyle p}$ akustik basınç ve ${\displaystyle c}$ sesin hızıdır.

Çözüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki çözümler farklı koordinat sistemlerinde değişken ayırma yöntemi ile elde edilmiştir. Bu çözümlerin zamana bağlı açık olmayan bir faktörleri vardır, ${\displaystyle e^{i\omega t}}$,burada ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ açısal frekanstır. Açık zamana-bağlılık şöyle verilir:

${\displaystyle p(r,t,k)=\operatorname {Real} \left[p(r,k)e^{i\omega t}\right]}$

burada ${\displaystyle k=\omega /c\ }$ dalga sayısıdır.

Kartezyen koordinatlarda[değiştir | kaynağı değiştir]

${\displaystyle p(r,k)=Ae^{\pm ikr}}$

Silindirik koordinatlarda[değiştir | kaynağı değiştir]

${\displaystyle p(r,k)=AH_{0}^{(1)}(kr)+\ BH_{0}^{(2)}(kr)}$

Burada ${\displaystyle kr\rightarrow \infty }$ iken Hankel fonksiyonlarına asimptotik yaklaşımlar şöyle verilir;

${\displaystyle H_{0}^{(1)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{i(kr-\pi /4)}}$

${\displaystyle H_{0}^{(2)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{-i(kr-\pi /4)}}$

Küresel koordinatlarda[değiştir | kaynağı değiştir]

${\displaystyle p(r,k)={\frac {A}{r}}e^{\pm ikr}}$

Seçilen Fourier kuralına bağlı olarak, bunlardan biri dışarı hareket eden, diğeri ise fiziksel olmayan içeri hareket eden dalgayı temsil eder. İçeri hareket eden dalganın fiziksel olmaması sadece r=0 da oluşan tekillikten ileri gelir; içeri hareket eden dalgalar mevcuttur.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]