Üçüncü dereceden denklemler, derecesi 3 olan polinomların oluşturduğu denklemlerdir. Bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibidir

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

x değişken yani bilinmeyendir ve a, b c ve d katsayılar (a ≠ 0 şartıyla), d ise sabit sayıdır.

Genel çözümü[değiştir | kaynağı değiştir]

${\displaystyle \vartheta ={\sqrt {27(ad)^{2}+d(4b^{3}-18abc)+4ac^{3}-(bc)^{2}}}}$

${\displaystyle \varrho ={\frac {\vartheta }{6{\sqrt {3}}a^{2}}}-{\frac {27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{54a^{3}}}}$

${\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{\varrho }}+{\frac {b^{2}-3ac}{9a^{2}{\sqrt[{3}]{\varrho }}}}-{\frac {b}{3a}}}$ olur.

Diğer iki kökü:

${\displaystyle x_{2}=x_{1}cis{\frac {2\pi }{3}}\Rightarrow x_{2}=x_{1}[-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]}$

${\displaystyle x_{3}=x_{1}cis{\frac {4\pi }{3}}\Rightarrow x_{3}=x_{1}[-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]}$

Üçüncü dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntılar:

Kökler toplamı: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}}$

Kökler çarpımı: ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$

Ve ${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={\frac {c}{a}}}$ dır.

Kökleri verilen üçüncü dereceden denklemin yazılması:

Kökleri x₁, x₂ ve x₃ olan üçüncü derece denklem ${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0}$ dır.

Denklemin bir kökü biliniyorsa:

Denklemin bilinen kökü p olsun ve bu denklem

${\displaystyle (x-p)(ax^{2}+bx+c)=0}$ şeklindedir. Çünkü bir (x-p) parantezi alınıp geriye ikinci dereden denklem kalmıştır. Üçüncü denklemin bir kökü biliniyorsa Polinom bölmesi yapılır. Geriye kalan ikinci dereden denklem çarpanlara ayırma veya ${\displaystyle x_{1},_{2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$ formülüyle çözülebilir. Bu denklemin açılmış hali aşağıdadır.

Bu denklem genelde ${\displaystyle ax^{3}+(b-ap)x^{2}+(c-bp)x-cp=0}$ şeklindedir.

Diğer yazılar[değiştir | kaynağı değiştir]

• Numberempire http://www.numberempire.com/equationsolver.php28 Ağustos 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Yazının Bağlantısı: III. Dereceden Denklemin Kökleri İle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar
• Yazının Kategorisi: II. ve III. Dereceden Denklemler, Matematik 2 (LYS)