Sayılar teorisinde, Skewes' sayısı, birkaç çok büyük sayıdan biridir. Güney Afrikalı matematikçi Stanley Skewes tarafından bulunan ve en küçük x doğal sayılarının üst sınırlarını belirleyen şöyle bir ifadedir:

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

buradaki π(x), asal hesaplama fonksiyonu ve li(x) ise logaritmik integral fonksiyonudur. Bu sınırlar geliştirildi: ${\displaystyle e^{727,952}}$ bir geçiş noktasıdır.

Skewes sayıları[değiştir | kaynağı değiştir]

Skewes'ın öğretmeni olan John Edensor Littlewood, 1914'te Littlewood'da, büyük bir sayı olduğunu ve π(x) − li(x) fark işaretinin son derece sık değişdiğini kanıtladı. Sonradan tüm sayısal deliller, π(x)'nin daima li(x)'den daha az olduğunu gösterdi.

1933'te Skewes, Riemann hipotezinin doğruluğunu ve x gibi bir sayının π(x) < li(x)'i ihlal ettiğini aşağıdaki şekilde ispatladı;

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.}$

1955'te Skewes, Riemann hipotezini varsaymaksızın. x gibi bir değerin olduğunu şöyle ispatladı;

${\displaystyle 10^{10^{10^{963}}}.}$

Her iki Skewes sayıları, matematiksel delillerdeki çoğu büyük sayılarla karşılaştırıldığında onlardan büyüktür ve neredeyse Graham sayısı kadardır.

Son tahminler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu devasa üst sınırlar, Rieman zeta fonksiyonunun sıfırlarıyla büyük ölçekli bilgisayar hesaplamalarını kullanarak epeyce azaltıldı. Keşisme noktasının geçerli değerini için ilk yaklaşım 1966'da Lehman tarafından yapıldı. Lehman, 1,53×10¹¹⁶⁵ ile 1,65×10¹¹⁶⁵ arasında, 10⁵⁰⁰ ardışık x tam sayıları olduğunu π(x) > li(x) ile gösterdi. Riemann hipotezini kullanmadan Herman te Riele, 2000 yılında 7×10³⁷⁰ şeklinde bir üst sınır olduğunu ispatladı.

Riemann formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Riemann, π(x) için şöyle bir formül geliştirdi;

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\frac {\operatorname {li} ({\sqrt {x}})}{2}}-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{ ufak terimler }}}$

buradaki toplama, Rieman zeta fonksiyonunun ρ sıfırlarından fazladır. π(x) = li(x) (eğer Riemann hipotezi doğruysa) En büyük hata terimi yaklaşımındaki en büyük hata terimi ${\displaystyle {\operatorname {li} ({\sqrt {x}})}/2}$'dir. li(x), genellikle π(x)'den daha büyüktür. Yukarıdaki diğer terimler biraz daha küçüktür.

Rieman hipotezinin yanlış olduğu varsayılırsa, argüman çok basit olur. li(x^ρ) terimlerinden dolayı, sıfırlal ihlal edilirse, Riemann hipotezi (gerçek bölüm 1/2'den daha büyüktür), nihayet li(x^1/2)'den büyük olur.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

• Demichel, Patrick (2005), Asal hesaplama fonksiyonu ve ilgili konular (PDF), 3.1415, Google, erişim tarihi: 4 Kasım 2007 ^{[ölü/kırık bağlantı]} π(x) − li(x) farkının birçok grafiklerini içeriyor.

Patrick Demichel. Asal hesaplama fonksiyonu ve ilgili konular. https://web.archive.org/web/20060908033007/http://demichel.net/patrick/li_crossover_pi.pdf 20.09.2009'da gözden geçirildi