Matematikte paralelkenar yasasının en temel formu (ayrıca paralelkenar özdeşliği denir), temel geometriye aittir. Yasa, paralelkenarın tüm kenarlarının karelerinin toplamının köşegenlerinin karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler.

Teoremin açıklaması[değiştir | kaynağı değiştir]

Yandaki gösterimdeki paralelkenarın kenarları; (AB), (BC), (CD) ve (DA)'dır. Öklidci geometriden beri, paralelkenarın karşılıklı kenarları mutlaka eşit olmalıdır. Yani, (AB) = (CD) ve (BC) = (DA)'dır.

Yasa şu şekilde ifade edilebilir,

${\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}\,}$

Paralel kenarın dikdörtgen olması durumunda ise köşegenler eşit olmalıdır (AC) = (BD) yani,

${\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}\,}$

İfade, dört kenarı eşit olmayan genel dörtgenler içinse Pisagor teoremine indirgenebilir,

${\displaystyle (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}+4x^{2}.\,}$

burada x köşegenlerinin orta noktasını birleştiren çizginin uzunluğudur. Şemada görüldüğü gibi, paralelkenar için x = 0 ve genel formül paralelkenar yasasındakine eşdeğerdir.

İç çarpım uzayları içinde paralelkenar kanunu[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir normlu uzayı içinde paralelkenar kanununun durumu normlarla ilişkili bir denklemdir:

${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.\,}$

Bir iç çarpım uzayı içinde,norm iç çarpım kullanımı belirleniyor:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,}$

Tanımın bir sonucu olarak, bir iç çarpımlı uzay içinde parallelkenar kanunu bir cebrik özdeşliktir,iç çarpımın özellikleri kullanılarak kolayca kurulmuştur:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,}$

${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,}$

bu iki bağıntı ekleniyor:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},\,}$

olarak gereklidir.

Eğer x yye ortogonal ise, ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0}$ ve alınan bir toplamın normu için yukarıdaki denklem :

${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}$

Bu pisagor teoremidir.

Normlu vektör uzaylarını paralelkenar kanunu karşılar[değiştir | kaynağı değiştir]

En gerçek ve karmaşık normlu vektör uzayları iç çarpımlı değildir, ama tüm normlu vektör uzaylarının normları var (tanımı ile).Örneğin, bir ortak kullanılan norm p-normdur:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},}$

${\displaystyle x_{i}}$ burada ${\displaystyle x}$ vektörünün bileşenleridir.

Verilen bir norm, yukarıda paralelkenar kanununun iki tarafını teke evriltilebilir. Dikkat çekici gerçektir şudur ki paralelkenar kanunu tutarlı ise, o zaman standart bir iç çarpım, alışılmış bir yolla ortaya çıkmalıdır. Özel olarak, bu p-norm'un ancak ve ancak p = 2,Öklidyen norm veya standard norm gibi-adlandırılması uygundur.^[1][2]

Herhangi norm için paralelkenar kanunu karşılar (bu zorunlu olarak bir iç çarpım normudur), iç çarpım üreten norm polarizasyon özdeşliğinin bir sonucu olarak tekliktir. Gerçek durum içinde,polarizasyon özdeşliği ile veriliyor:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},\,}$

veya, eşdeğerliği, ile:

${\displaystyle {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2}{\text{ veya }}{\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.\,}$

karmaşık durum içinde aşağıdaki ile veriliyor:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.}$

Örneğin, p-norm ile p = 2 ve gerçel vektörler ${\displaystyle x,\ y\,}$ kullanılıyor, iç çarpımın evirtimi için süreç aşağıdadır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}\\&={\frac {1}{4}}\left[\sum |x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum |x_{i}-y_{i}|^{2}\right]\\&={\frac {1}{4}}\left[4\sum x_{i}y_{i}\right]\\&=(x\cdot y),\end{aligned}}}$

bu iki vektörlerin standart nokta çarpımıdır.

Notlar ve iç-hat kaynakları[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

• Apollonius teoremi
• Birleşmeli özellikler
• Polarizasyon özdeşliği

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

• The Parallelogram Law Proven Simply at Dreamshire blog3 Şubat 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• The Parallelogram Law: A Proof Without Words 1 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at Cut-the-Knot
• Proof of Parallelogram Law 24 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at PlanetMath
• A generalization of the "Parallelogram Law/Identity" to a Parallelo-hexagon and to 2n-gons in General - Relations between the sides and diagonals of 2n-gons (Douglas' Theorem) 4 Mart 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at Dynamic Geometry Sketches 11 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., an interactive dynamic geometry sketch.