Matematikte Cauchy çarpımı, ${\displaystyle a_{n}}$ ve ${\displaystyle b_{n}}$ gibi iki dizinin

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}$

biçiminde ifade edilen süreksiz katlamasıdır. Kavram, Augustin Louis Cauchy tarafından bulunmuştur.

İki dizinin çarpımına eşit olan ifade doğal sayılar kümesi (${\displaystyle R[\mathbb {N} ]}$) yarıöbek halkasının bir elemanı olarak da değerlendirilmektedir.

Diziler[değiştir | kaynağı değiştir]

${\displaystyle a_{n}}$ ve ${\displaystyle b_{n}}$ dizileri iki kurallı serinin (yakınsak olmaları gerekmiyor) terimleri olarak da düşünülebilir.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$

Bu serilere daha çok gerçel ve karmaşık sayılarda rastlanmaktadır. n = 0, 1, 2, … değerleri için Cauchy çarpımı şu biçimde tanımlanır:

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}$

"Kurallı" terimi, diziler üzerinde gerçekleştirilen değişikliklerin yakınsaklık kavramını göz önüne almadan yapıldığını belirtmektedir.

İki dizinin de yakınsadığı durumlarda akla

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}$

sonsuz dizi toplamının

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}$

çarpımına eşit olduğu gelmektedir. Bu akıl yürütme kurallı durumlar için doğru sonucu vermektedir ancak iki dizinin Cauchy çarpımı dizilerin en az birinin yakınsak olmadığı durumlarda da tanımlıdır.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Sonlu diziler[değiştir | kaynağı değiştir]

Tüm ${\displaystyle i>n}$ değerleri için ${\displaystyle x_{i}=0}$ ve tüm ${\displaystyle i>m}$ değerleri için ${\displaystyle y_{i}=0}$ koşulları sağlanıyorsa ${\displaystyle \sum x}$ ve ${\displaystyle \sum y}$'nin Cauchy çarpımı ${\displaystyle (x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})}$ olarak hesaplanır. Bu, sonlu dizilerin Cauchy çarpımının olağan çarpma işlemine indirgenebildiğini göstermektedir.

Sonsuz diziler[değiştir | kaynağı değiştir]

• ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ değerleri için ${\displaystyle x_{n}=a^{n}/n!\,}$ ve ${\displaystyle y_{n}=b^{n}/n!\,}$ eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın.

${\displaystyle C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}}$

eşitliği tanım gereği sağlanır ve binom açılımı tarafından desteklenir. Kurallı diziler için geçerli olan ${\displaystyle \exp(a)=\sum x}$ ve ${\displaystyle \exp(b)=\sum y}$ eşitlikleri ${\displaystyle \exp(a+b)=\sum C(x,y)}$ sonucunu doğurur. İki mutlak yakınsak dizinin Cauchy çarpımının limiti bu dizilerin limitleri çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki ifade kanıtlanmış olur.

${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}$ (tüm ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ değerleri için)

• Tüm ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ değerleri için ${\displaystyle x(n)=1}$ koşulu sağlanıyorsa ${\displaystyle C(x,x)(n)=n+1}$ eşitliği tüm ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ değerleri için geçerlidir. Bu durumda Cauchy çarpımı

${\displaystyle \sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}$

olarak hesaplanır ve bu ifade yakınsamaz.

Yakınsaklık ve Mertens kuramı[değiştir | kaynağı değiştir]

x ve y gerçel diziler olmak üzere, ${\displaystyle \sum y}$ dizisi Y'ye yakınsıyor ve ${\displaystyle \sum x}$ dizisi X'e mutlak yakınsıyorsa bu dizilerin Cauchy çarpımı (${\displaystyle \sum C(x,y)}$) XY'ye yakınsar. Franz Mertens tarafından kanıtlanan bu kuram, iki dizinin koşullu yakınsak olmaları durumunda geçerli değildir. Örneğin, ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}/n}$ dizisi bir koşullu yakınsak dizi üretir ancak ${\displaystyle C(x,x)}$ sıfıra yakınsamamaktadır.

Mertens kuramının kanıtı[değiştir | kaynağı değiştir]

${\displaystyle X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}}$, ${\displaystyle Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}}$ ve ${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)}$ eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Terimlerin yerlerinin değiştirilmesiyle ${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}}$ sonucuna ulaşılır ve böylece ${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}}$ eşitliği sağlanır. ε > 0 olmak koşuluyla, ${\displaystyle \sum x}$ mutlak yakınsak ve ${\displaystyle \sum y}$ yakınsak olduğundan tüm n ≥ N değerleri için ${\displaystyle |Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}}$ eşitsizliğini sağlayan bir N tam sayısı ve tüm ${\displaystyle n\geq M}$ değerleri için ${\displaystyle |x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon }{4N\sup |Y_{n}-Y|+1}}}$ eşitsizliğini sağlayan bir M tam sayısı bulunur. Ayrıca, ${\displaystyle n\geq L}$ koşulu sağlanıyorsa ${\displaystyle |X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}}$ eşitsizliğini sağlayan bir L tam sayısı da bulunur. Böylece; N, M ve L'den büyük tüm n tam sayıları için

${\displaystyle |C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon }$

eşitsizliği yazılabilir. Dizi yakınsaklığı tanımı gereği ${\displaystyle \sum C(x,y)\to XY}$ ifadesi de geçerlidir.

Cesàro kuramı[değiştir | kaynağı değiştir]

x ve y gerçel diziler olmak üzere ${\displaystyle \sum x\to A}$ ve ${\displaystyle \sum y\to B}$ ise

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB}$

ifadesi yazılabilir.

Genellemeler[değiştir | kaynağı değiştir]

Şu ana dek açıklanan tüm kavramlar ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (karmaşık sayılar) kümesinde tanımlı diziler için geçerlidir. Cauchy çarpımı, çarpma işleminin iç çarpım olarak tanımlandığı ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ uzaylarında (Öklit uzayları) da tanımlıdır. Bu tanıma göre, iki dizinin mutlak yakınsıyor oluşu bu dizilerin Cauchy çarpımının dizi limitlerinin iç çarpımına mutlak yakınsadığı anlamına gelmektedir.

İşlev katlamasıyla ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Çifte sonsuz diziler için de Cauchy çarpımı tanımı yapılabilmektedir ancak çarpım her koşulda tanımlı değildir. Örneğin, 1 sabit dizisinin kendisiyle Cauchy çarpımı (${\displaystyle (\dots ,1,\dots )}$) tanımsızdır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]