Brune teoremi, bir orta düzey Prusya memuru olan muhasebeci Ernst Wilhelm Brune (1790?-1860?)^[1] tarafından bulunan ve 1841 yılında Berlin'de yayınlanan, dörtgenlerle ilgili bir temel geometri teoremidir. Teorem, Öklid düzleminde bir dışbükey dörtgeninin yapıcı bir şekilde aynı alana sahip dört kısmi dörtgene nasıl bölünebileceği problemini ele alır ve yanıtlar.^[2]

Teoremin formülasyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Teorem şu şekilde formüle edilebilir:^[2]

Öklid düzleminde keyfi bir ${\displaystyle ABCD}$ dışbükey dörtgeni verilir. ${\displaystyle M}$ ve ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle AC}$ ve ${\displaystyle BD}$ köşegenleri üzerinde yer alan iki orta noktadır.

${\displaystyle M}$ ve ${\displaystyle N}$ noktalarından diğer köşegene paralel çizilir, ${\displaystyle O}$ noktası iki köşegen merkezinden çizilen doğruların kesişme noktasıdır. ${\displaystyle O}$ noktasının ${\displaystyle M=N}$'de olması durumunda ${\displaystyle ABCD}$ bir paralelkenardır.

Sonra:

${\displaystyle O}$ noktası, dörtgenin dört kenarının orta noktaları ile birleştirilirse, ${\displaystyle ABCD}$ dörtgeni, her biri ${\displaystyle ABCD}$ dörtgeninin ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ alanına sahip olan dört alt dörtgene bölünmüş olur.

İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

${\displaystyle ABCD}$ herhangi bir düzensiz dörtgen ve ${\displaystyle E,F,G,H}$ ise bu dörtgenin kenarlarının orta noktaları olsun. Öyle bir ${\displaystyle K}$ noktası vardır ki;

${\displaystyle S_{AHKE}=S_{EKFB}=S_{KHDG}=S_{KGCF}=\left({\frac {1}{4}}S_{ABCD}\right)}$

${\displaystyle A,B,C,D,I}$'nın sırasıyla ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p}$ koordinatlarına sahip olduğunu varsayalım. Sonra,

${\displaystyle \mathbf {S} _{AHKE}={\frac {1}{2}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1})\times {\frac {\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4}}{2}}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{EKFB}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} )={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2})\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{KHDG}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})\times (\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4})={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{4}-\mathbf {p} )\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{KGCF}={\frac {1}{4}}(\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} )\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})}$.

Aşağıdaki ifade kolayca görülebilir:

${\displaystyle \mathbf {S} _{AHKE}+\mathbf {S} _{KGCF}={\frac {1}{2}}\mathbf {S} _{ABCD}}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{EKFB}+\mathbf {S} _{KHDG}={\frac {1}{2}}\mathbf {S} _{ABCD}}$

bu nedenle ${\displaystyle p}$'nin iki bileşenini belirlemek için tam olarak iki doğrusal denklem vardır;

${\displaystyle \mathbf {S} _{AHKE}-\mathbf {S} _{KGCF}=0}$,

${\displaystyle \mathbf {S} _{EKFB}-\mathbf {S} _{KHDG}=0}$

Ve denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir;

${\displaystyle (2\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{3})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})=0}$,

${\displaystyle (2\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})\times (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1})=0}$

Bu, aşağıdaki ifadeye eşittir:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{3}}{2}}+\lambda (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{4})={\frac {\mathbf {p} _{2}+\mathbf {p} _{4}}{2}}+\mu (\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1}),\quad \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle K}$'nin geometrik tanımı şimdi açık olmalıdır: ${\displaystyle K}$ noktası, köşegenlerin kesişme noktasının (${\displaystyle M=AC\cap BD}$), köşelerin ağırlık merkezi ${\displaystyle P}$'ye göre yansımasıdır/simetrisidir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

• Brune (1841). "Eine Eigenschaft des Vierecks". Crelles Journal. Cilt 22. s. 379. MR1578286. 
• Friedrich Joseph Pythagoras Riecke, (Ed.) (1973). "Erstes Heft". Mathematische Unterhaltungen. Walluf bei Wiesbaden: Dr. Martin Sändig. ISBN 3-500-26010-1. Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873. 

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Konuyla ilgili yayınlar[değiştir | kaynağı değiştir]

• Wetzel, John E. "Squares in triangles." The Mathematical Gazette 86.505 (2002): ss. 28-34.