Matematiksel analizde son değer teoremi (SDT), frekans domeni ile ilgili bir ifadenin zaman domenindeki davranışının sonsuza yakınsak zamandaki karşılığı olan bir teoremdir. Bir son değer teoremi, frekans domeni ifadesine bir sınır koyarak doğrudan hesaplanması için zaman domeni davranışını belirler. Zaman domeni ifadesine dönüştürüldüğünde bazı sınır değerler alır.

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$

matematiksel olarak eğer sonlu bir sınır değeri varsa,

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$ olur.

Burada ${\displaystyle F(s)}$, ${\displaystyle f(t)}$ fonksiyonunun (tek taraflı) Laplace dönüşümüdür.

Basit örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

${\displaystyle f(t)=e^{-t}}$ olsun.

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{s+1}}}$

${\displaystyle f({\infty })=\lim _{s\to 0}{\frac {s}{s+1}}=0\,}$

SDT'nin savunulduğu yere örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

Örneğin bir sistem transfer fonksiyonu ile açıklansın;

${\displaystyle H(s)={\frac {6}{s+2}}}$

Bunun darbe cevabı şuna yakınsar;

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }h(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {6s}{s+2}}=0.}$

Bu, kısa bir darbe ile tetiklendikten sonra sistem sıfıra gider. Yine de, birim adım cevaplarının Laplace dönüşümü şöyledir;

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s}}{\frac {6}{s+2}}}$

ve buradaki darbe cevabı şuna yakınsar;

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }g(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {s}{s}}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3}$

bu şekilde sıfır durumlu sistemin üssel artışı son değer 3'e gider.

SDT'nin savunulmadığı yere örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

Örneğin bir sistem transfer fonksiyonu ile açıklansın;

${\displaystyle H(s)={\frac {9}{s^{2}+9}}}$

Son değer teoremi, 0 olan darbe cevabının ve 1 olan adım cevabının son değerini öngörmek için kullanılır. Ne zaman domeni sınırı vardır ne de son değer teoremi öngörüleri geçerlidir. Aslında hem darbe cevabı hem de adım cevabı kararsızdır ve (bu özel durumda) son değer teoremi, kararsızlık etrafındaki cevapların ortalama değerlerini açıklar.

Kontrol teorisinde gerçekleştirilen iki kontrol vardır. Bunlar son değer teoremi için geçerli sonuçlar doğrular:

1. ${\displaystyle H(s)}$ tüm paydanın kökleri negatif gerçel kısımda olmalı.
2. ${\displaystyle H(s)}$, orjinde birden fazla kökü olmamalı.

Kural 1, bu örnekte tatmin edici değil. Çünkü paydada ${\displaystyle +j3}$ ve ${\displaystyle -j3}$ olarak iki kök var.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

• Başlangıç değer teoremi
• Z-dönüşümü

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

• http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem25 Aralık 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html26 Aralık 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Final value for Laplace
• https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf Final value proof for Z-transforms