Ortak bölen

Matematikte, sıfır olmayan iki veya daha fazla pozitif tam sayının en büyük ortak böleni, tam sayıların hepsini de bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin; 8 ve 12’nin ebob’u 4’tür.^[1]^[2]

En büyük ortak bölen aynı zamanda en büyük ortak faktör (ebof),^[3] en yüksek ortak faktör (eyof)^[4] ile de isimlendirilir.

Genel bakış[değiştir | kaynağı değiştir]

Gösterim[değiştir | kaynağı değiştir]

A ve B iki tam sayı ise, en büyük ortak bölenleri ebob(A,B) şeklinde gösterilir. A, B, C ve D tam sayılarının en büyük ortak böleni ise ebob(A,B,C,D) şeklinde gösterilir.

Örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

54 ve 24'ün en büyük ortak böleni nedir?

54 sayısı, iki tam sayının çarpımı şeklinde ifade edilebilir:

$54\times 1=27\times 2=18\times 3=9\times 6$

Böylece 54’ün bölenleri: $1,2,3,6,9,18,27,54$

Benzer şekilde 24’ün bölenleri ise: $1,2,3,4,6,8,12,24$

Bunların en büyüğü 6'dır. Yani 54 ve 24'ün en büyük ortak böleni

${\textstyle ebob(54,24)=6}$ olur.

Geometrik görünüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Örneğin $24\times 60$ dikdörtgen bir alan yandaki görseldeki gibi bir ızgaraya bölünebilir: 1'e 1 kare, 2'ye 2 kare, 3'e 3 kare, 4'e 4 kare… 6'ya 6 kare… 12x12 kare. Bu nedenle 12 sayısı 24 ve 60'ın en büyük ortak bölenidir.

Böylece 24x60 bir dikdörtgen alan, bir kenarı (24/12 = 2) iki kare ve diğer kenarı (60/12 = 5) beş kare olan 12x12‘lik bir ızgaraya bölünebilir.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kesirlerin indirgenmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

En büyük ortak bölen, kesirleri en küçük sayılara indirgemede yararlıdır.^[5] Örneğin 42 ve 56 sayılarının en büyük ortak böleni yani ebob(42, 56) = 14’dür bu nedenle 42/56 kesiri şu şekilde 3/4’e indirgenir:

{\frac {42}{56}}={\frac {3\cdot 14}{4\cdot 14}}={\frac {3}{4}}.

En küçük ortak kat[değiştir | kaynağı değiştir]

İki tam sayının sıfır olmayan en küçük ortak katsayısı, bu sayıların en büyük ortak böleninden şu bağıntı kullanılarak hesaplanır:

\operatorname {ekok} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {ebob} (a,b)}}.

Hesaplama[değiştir | kaynağı değiştir]

Asal çarpanlara ayırma[değiştir | kaynağı değiştir]

İki sayının asal çarpanlarını bulup sonra bu çarpanları karşılaştırarak En büyük ortak bölenleri (EBOB) hesaplanabilir. Örneğin ebob(48, 180) hesaplamak için önce 48 ve 180 sayılarının şu asal çarpanları buluruz;

48 = 2⁴ · 3¹ ve 180 = 2² · 3² · 5¹.

Bu durumda Venn şemasında gösterildiği gibi EBOB sayısı;

2^min(4,2) · 3^min(1,2) · 5^min(0,1) = 2² · 3¹ · 5⁰ =12’dir.

Karşılık gelen En küçük Ortak Kat (EKOK) sayısı ise 2^max(4,2) · 3^max(1,2) · 5^max(0,1) = 2⁴ · 3² · 5¹ = 720’dir.

^[6]

Bu yöntem yalnızca küçük sayılar için uygundur çünkü sayıları asal çarpanlarına ayırma çok uzun sürer.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Ortak kat

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

^ Long (1972, p. 33)
^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 34)
^ Kelley, W. Michael (2004), The Complete Idiot's Guide to Algebra, Penguin, p. 142, ISBN 9781592571611.
^ Jones, Allyn (1999), Whole Numbers, Decimals, Percentages and Fractions Year 7, Pascal Press, p. 16, ISBN 9781864413786.
^ "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. 29 Ekim 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Ağustos 2020.
^ Gustavo Delfino, "Understanding the Least Common Multiple and Greatest Common Divisor" 22 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Wolfram Demonstrations Project, Published: February 1, 2013.

Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.

[1] Long (1972, p. 33)

[2] Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 34)

[3] Kelley, W. Michael (2004), The Complete Idiot's Guide to Algebra, Penguin, p. 142, ISBN 9781592571611.

[4] Jones, Allyn (1999), Whole Numbers, Decimals, Percentages and Fractions Year 7, Pascal Press, p. 16, ISBN 9781864413786.

[5] "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. 29 Ekim 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Ağustos 2020.

[6] Gustavo Delfino, "Understanding the Least Common Multiple and Greatest Common Divisor" 22 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Wolfram Demonstrations Project, Published: February 1, 2013.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

En büyük ortak bölen ne demektir