Brocard noktaları, geometride bir üçgen içinde yer alan özel noktalardır. Fransız matematikçi Henri Brocard'ın çalışmalarından dolayı bu adı almıştır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Kenarları ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ve ${\displaystyle c}$, köşeleri saat yönünün tersine doğru ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ve ${\displaystyle C}$ olarak adlandırılmış bir ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninde, ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$ ve ${\displaystyle CP}$ sırasıyla ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ kenarlarıyla eşit ${\displaystyle \omega }$ açısı yapacak şekilde bir ${\displaystyle P}$ noktası bulunur.

${\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA.\,}$

Bu ${\displaystyle P}$ noktasına ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin birinci Brocard noktası ve ${\displaystyle \omega }$ açısına üçgenin Brocard açısı denir. Bu açı şu denklemi sağlar:

${\displaystyle \cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma .\,}$

${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninde ${\displaystyle AQ}$, ${\displaystyle BQ}$ ve ${\displaystyle CQ}$ doğru parçalarının sırasıyla ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ve ${\displaystyle a}$ kenarlarıyla eşit açı yapması şartını sağlayan bir ${\displaystyle Q}$, ikinci Brocard noktası, bulunur. Diğer bir deyişle

${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$

denklemi bu nokta için de geçerlidir. Dikkat çekici biçimde, bu ikinci Brocard noktası ile birinci Brocard noktası aynı Brocard açısına sahiptir. Yani

${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$

ve

${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$

birbirine eşittir.

İki Brocard noktası arasında yakın ilişki vardır; aslında ikisi arasındaki fark ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin açılarının hangi sırayla seçildiğine bağlıdır. Örnek verilirse, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin birinci Brocard noktası, ${\displaystyle \triangle ACB}$ üçgeninin ikinci Brocard noktasıdır.

${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin iki Brocard noktası birbirinin izogonal eşleniğidir.

Elde edilmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Brocard noktalarını oluşturmanın en iyi yolu için şöyle denebilir. Verilecek örnekte sadece birinci Brocard noktası ele alınacak ancak ikinci Brocard noktasını bulmak buna çok benzerdir.

${\displaystyle A}$ ile ${\displaystyle B}$ noktalarından geçen, üçgenin ${\displaystyle BC}$ kenarına teğet bir çember (bu çemberin merkezi ${\displaystyle AB}$'nin orta dikmesi ile ${\displaystyle B}$ noktasından ${\displaystyle BC}$'ye dik olarak çizilecek doğrunun kesişim noktası olacaktır) oluşturulur. Simetrik olarak, ${\displaystyle B}$ ile ${\displaystyle C}$ noktalarından geçen, ${\displaystyle AC}$ kenarına teğet ve ${\displaystyle A}$ ile ${\displaystyle C}$ noktalarından geçen, ${\displaystyle AB}$ kenarına teğet çemberler çizilir. Bu üç çemberin ortak tek noktası, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin birinci Brocard noktasıdır.

İkinci Brocard noktası aynı yöntemle tespit edilebilir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

• Eric W. Weisstein, Üçüncü Brocard Noktası (MathWorld)