Karmaşık analizde, Joseph Liouville'in ismine atfedilen Liouville teoremi, sınırlı her tam fonksiyonun sabit olmak zorunda olduğunu ifade eder. Yani, C 'deki her z için |f(z)| ≤ M olan pozitif bir M varsa ve f holomorfsa, f sabittir.

Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir.

Kanıt[değiştir | kaynağı değiştir]

Teorem, "holomorf fonksiyonlar analitiktir" gerçeğinden elde edilir. f, tam olduğu için, 0 etrafında Taylor serisi ile temsil edilebilir; yani

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$

Buradaki ${\displaystyle a_{k}}$ terimi ise (Cauchy integral formülü yardımıyla)

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta }$

olarak yazılır (C_r, 0 merkezli, r yarıçaplı bir çemberdir.) Doğrudan

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}\,d\zeta \leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,d\zeta \leq {\frac {M}{r^{k}}},}$

tahmini yapılabilir (İkinci eşitsizlikte varsayımdaki her z için |f(z)| ≤ M eşitsizliği kullanılmıştır). Yol integralinde kullanılan r sayısının seçimi ise keyfidir. Bu yüzden, r sonsuza götürülürse, her k ≥ 1 için a_k = 0 elde edilir. Böylelikle, f(z) = a₀ olur ve teorem kanıtlanmış olur.

Sonuçlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Cebirin temel teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Cebirin temel teoreminin Liouville teoremine dayanan kısa bir kanıtı vardır.

Hiçbir tam fonksiyon bir diğer tam fonksiyona baskınlık kuramaz[değiştir | kaynağı değiştir]

Teoremin bir sonucu da "gerçekte farklı" fonksiyonların birbirine baskınlık kuramayacağıdır, yani f ve g tamsa ve her yerde |f| ≤ |g| ise , o zaman bir α sayısı için f = α.g olur. Bunu göstermek içinse

${\displaystyle h={\frac {f}{g}}\cdot }$

fonksiyonunu ele alalım. h 'nin tam bir fonksiyona uzatılabilmesi yetecektir ve böylece Liouville teoremi sonucu verecektir. h 'nin holomorf olması g⁻¹(0) haricindeki noktalarda açıktır. Şimdi g(a) = 0 ise f(a) = 0 ifadesi de vardır. Analitiklik sayesinde, h sürekli, ve bu yüzden de holomorf olarak a üzerine uzatılabilir. Bu yüzden, h, g⁻¹(0) üzerinde tam bir fonksiyona uzatılabilir.

Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz[değiştir | kaynağı değiştir]

Teorem aynı zamanda sabit olmayan eliptik bir f fonksiyonunun tanım kümesinin C 'de olamayacağını göstermekte de kullanılabilir. Olduğunu varsayalım. O zaman, a ve b, f 'nin ^a/_b gerçel olmayacak şekilde iki periyodu ise, köşeleri 0, a, b ve a + b olan P paralelkenarını ele alalım. O zaman, f 'nin görüntüsü f(P) 'ye eşit olacaktır. f sürekli olduğu ve P tıkız olduğu için, f(P) de tıkız olacaktır ve bu yüzden sınırlı olacaktır. Böylece, f sabit olacaktır.

"Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz" gerçeği aslında Liouville'in 1847'de eliptik fonksiyonlar kuramını kullanarak kanıtladığı ifadedir.^[1] Aslında Liouville teoremini kanıtlayan Cauchy'dir.^[2]

Tam fonksiyonların genelde yoğun görüntüleri vardır[değiştir | kaynağı değiştir]

f sabit olmayan tam bir fonksiyonsa, o zaman görüntüsü C içinde yoğundur. Bu ifade Liouville teoreminden daha güçlü bir sonuç olarak güzükse de aslında teoremin kolay bir sonucudur. f 'nin görüntüsü yoğun olmasaydı, o zaman bir w karmaşık sayısı ve r > 0 gerçel sayısı olurdu öyle ki w merkezli, r yarıçaplı açık disk, f 'nin görüntüsünden bir eleman içermezdi. g(z) = ¹/_{(f(z) - w)} fonksiyonunu tanımlayalım.

${\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} ):|g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}}$

olduğu için, g sınırlı, tam bir fonksiyon olurdu. Böylece, g sabit olurdu. Ancak, bu saçma olur. Bu yüzden, f 'nin görüntüsü yoğundur.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

{∞} ∪ C , C 'nin bir nokta tıkızlaştırılması olsun. C 'deki bölgelerde tanımlı holomorf fonksiyonlar yerine, {∞} ∪ C içindeki bölgeler düşünülebilir. Bu şekilde görüldüğünde, C ⊂ {∞} ∪ C 'de tanımlı tam fonksiyonlar için olası tek tekillik ∞ noktasıdır. f, ∞'un bir komşuluğunda sınırlı ise, o zaman ∞, f 'nin kaldırılabilir tekilliğidir; yani f, ∞'da birden patlayamaz veya hatalı davranamaz. Kuvvet serileri açılımı bağlamında, Liouville teoreminin tutması pek de sürpriz değildir.

Benzer bir şekilde, tam bir fonksiyonun ∞'da kutup noktaları varsa, yani ∞'un açık bir aralığında zⁿ gibi patlıyorsa, o zaman f polinomdur. Liouville teoreminin bu uzatılmış versiyonu daha kesin bir dille ifade edilebilir: Yeteri kadar büyük z ler için |f(z)| ≤ M.|zⁿ| ise, o zaman f, derecesi en fazla n olan bir polinomdur. Bu, şu şekilde kanıtlanabilir. Yine, f 'nin Taylor serisini ele alalım:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$

Teoremin kanıtında kullanılan tartışma

${\displaystyle (\forall k\in \mathbb {N} ):|a_{k}|\leqslant Mr^{n-k}}$

eşitsizliğini verir. Böylece, k > n ise

${\displaystyle |a_{k}|\leqslant \lim _{r\rightarrow +\infty }Mr^{n-k}=0}$

olur. Bu yüzden, a_k = 0 elde edilir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

• PlanetMath'teki Liouville Teoremi ve kanıtı 14 Mayıs 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• MathWorld'deki Liouville Teoremi bilgisi 3 Temmuz 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Liouville Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından