Bu maddede birçok sorun bulunmaktadır. Lütfen sayfayı geliştirin veya bu sorunlar konusunda tartışma sayfasında bir yorum yapın. Bu madde, Vikipedi biçem el kitabına uygun değildir. Maddeyi, Vikipedi standartlarına uygun biçimde düzenleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. Gerekli düzenleme yapılmadan bu şablon kaldırılmamalıdır. (Şubat 2024) Bu maddede kullanılan kırmızı bağlantıların Vikipedi yönergelerine uymadığı düşünülmektedir. Bu maddedeki gereksiz kırmızı bağlantıları kaldırarak varolan bağlantı eklemeye çalışın. (Şubat 2024) Bu maddenin daha erişilebilir olması için konusuna göre başlıklara bölünmesi gerekmektedir. Lütfen Biçem el kitabına uygun bir şekilde bölüm başlık ve alt başlıkları ekleyerek maddeyi düzenleyin. Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi için Matematik konusunda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. Ayrıntılar için lütfen tartışma sayfasını inceleyin veya yeni bir tartışma başlatın. Konu hakkında uzman birini bulmaya yardımcı olarak ya da maddeye gerekli bilgileri ekleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. (Şubat 2024) Bu maddenin listelenen kaynaklarından bazıları güvenilir olmayabilir. Lütfen daha iyi, daha güvenilir kaynaklar arayarak bu maddeye yardımcı olun. Güvenilir olmayan kaynaklar sorgulanabilir veya silinebilir. (Şubat 2024) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin) Bu maddedeki üslubun, ansiklopedik bir yazıdan beklenen resmî ve ciddi üsluba uygun olmadığı düşünülmektedir. Maddeyi geliştirerek ya da konuyla ilgili tartışmaya katılarak Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

Eksiklik Teoremi, Kurt Gödel'in 1931 yılında doktorasında verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir.

Ünlü Alman matematikçi David Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belli bir sabit yöntem veya yöntemler bütünü ile, yani aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilir ise, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyom yapılarından elde edebilecekti.

Hilbert'in çağdaşı olan Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formül ile ifade etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilir ise, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi.

Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:

1. Ögesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksiz değildir.
2. Ögesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.

Gödel, bu teoremle Hilbert'in programı'nda sorduğu "Matematik tam mıdır?" sorusuna hayır yanıtını verir. Hilbert, matematiği paradokslardan ve tutarsızlıklardan kurtarmak amacıyla, sınırlı ve tam bir aksiyomlar kümesi ile tüm mevcut teoremlere sağlam bir zemin kurmayı amaçlamış ve gerçel analiz gibi karmaşık sistemlerin bu zemin üzerine oturmuş daha basit sistemler ile kanıtlanabileceğini önermişti. Tüm matematiğin tutarlılığını basit aritmetiğe indirgemeyi amaçlayan bu çaba, eksiklik teoremi ile boşa çıkmıştır.

İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.

Gödel'in ifadesiyle: "Her ${\displaystyle \omega }$-tutarlı yinelgen tamdeyimler sınıfı K'ya öyle yinelgen r sınıf-imleri tekabül eder ki, bu durumda, ne vGnr ne de ~(vGnr), Flg(K)'ya ait olur (Burada v, r'nin bağsız değişken idir)."

Daha sade bir anlatımla, "Sayı kuramının bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir."

Bu önermeyi biraz açacak olursak, tutarlı biçimsel bir dizge (sistem) kurallara ve belitlere dayanıyorsa bu dizge kesinlikle karar verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler içerecektir. Gödel'in ikinci teoremi, her biçimsel dizgenin sayılar kuramına eşbiçimli (izomorfik) olduğunu söyler. Bu durumda bu teoremle, sayı kuramının her formülasyonunun eksik olması gerektiği kanıtlanmıştır.

Bu karar verilemeyen önermeler için en çok bilinen örnekler, sayılar kuramında Seçim Beliti, geometride Pararlellik Beliti, mantıkta Eubulides Paradoksu'dur.

Eubulides Paradoksu[değiştir | kaynağı değiştir]

En çarpıcı ve yalın olanı Eublides Paradoksu'dur. "Bu önerme yanlıştır" önermesi karar verilemez bir önermedir. Önerme yanlış olduğu varsayılırsa doğru olduğunu ama doğru olduğu varsayılırsa yanlış olduğunu gösteriyor. Bu tür kendi hakkında konuşan önermelere "kendine-göndergeli önerme" terimi ilk Douglas R. Hofstadter 1989'da Türkiye'de Kabalcı yayınlarından çıkan "Gödel, Escher, Bach" kitabında kullanmıştır.

Paralellik Beliti[değiştir | kaynağı değiştir]

Pek açık olmayan bir örnek ise Paralellik Belitidir. Euclides (Öklit) M.Ö. 300'de yazmış olduğu ve hala geçerli olan geometri kitabı Elementlerde tüm geometriyi sezgisel olarak 5 belite dayandırır. Bu 5 belitten sonuncusunun diğer dördünden farklı olduğu göze çarpmış ve matematikçiler bu beliti kanıtlamak için çok uğraşlar vermişlerdir ama kimse başaramamıştır. Daha sonra Lobachevsky, Bolyai ve gizlice Gauss birbirlerinden habersiz bu beş belitin tersinin alınarak da başka bir geometriye ulaşılabileceğini gösterdiler. Belit Playfair'in versiyonuyla "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel olan sadece ve sadece bir doğru bulunur." önermesidir. Bu önermenin tersi olan "... en az iki doğru bulunur" önermesi Hiperbolik geometri (ya da Lobachevsky-Bolyai-Gauss Geometrisi) diye yeni bir geometriye kapı açmıştır.

Bu örnekle Gödel'in bu teoreminin aslında matematikte dizgeleri (sistemleri) dallara ayırarak yeni kapılar araladığı görülebilir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

• Tutarlılık
• Önermeler mantığı
• Öklid dışı geometri
• Paradoks

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

• Gödel Teoreminin Yapay Zeka Üzerine 24 Mayıs 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.