Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir?

Asal sayı Nedir?

Asal sayı Nedir?, Asal sayı Nerededir?, Asal sayı Hakkında Bilgi?, Asal sayı Analizi? Asal sayı ilgili Asal sayı ile ilgili bilgileri sitemizde bulabilirsiniz.  Asal sayı ile ilgili daha detaylı bilgi almak ve iletişime geçmek için sayfamıza tıklayabilirsiniz. Asal sayı Ne Anlama Gelir Asal sayı Anlamı Asal sayı Nedir Asal sayı Ne Anlam Taşır Asal sayı Neye İşarettir Asal sayı Tabiri Asal sayı Yorumu 

Asal sayı Kelimesi

Lütfen Asal sayı Kelimesi İle ilgili Daha Fazla Bilgi Almak İçin Kategoriler Sayfamıza Bakınız. Asal sayı İlgili Sözlük Kelimeler Listesi Asal sayı Kelimesinin Anlamı? Asal sayı Ne Demek? ,Asal sayı Ne Demektir? Asal sayı Ne Demektir? Asal sayı Analizi? , Asal sayı Anlamı Nedir?,Asal sayı Ne Demektir? , Asal sayı Açıklaması Nedir? ,Asal sayı Cevabı Nedir?,Asal sayı Kelimesinin Anlamı?,Asal sayı Kelimesinin Anlamı Nedir? ,Asal sayı Kelimesinin Anlamı Ne demek?,Asal sayı Kelimesinin Anlamı Ne demektir?

Asal sayı Bu Kelimeyi Kediniz Aradınız Ve Bulamadınız

Asal sayı Kelimesinin Anlamı Nedir? Asal sayı Kelimesinin Anlamı Ne demek? , Asal sayı Kelimesinin Anlamı Ne demektir?

Demek Ne Demek, Nedir? Tdk'ye Göre Anlamı

Demek kelimesi, dilimizde oldukça kullanılan kelimelerden birisidir. TDK'ye göre, demek kelimesi anlamı şu şekildedir:

Söylemek, söz söylemek -  Ad vermek -  Bir dilde karşılığı olmak -  Herhangi bir ses çıkarmak -  Herhangi bir kanıya, yargıya varmak -  Düşünmek - Oranlamak  - Ummak, - Erişmek -  Bir işe kalkışmak, yeltenmek -  Saymak, kabul etmek -  bir şey anlamına gelmek -  öyle mi,  - yani, anlaşılan -  inanılmayan, beklenmeyen durumlarda kullanılan pekiştirme veya şaşma sözü

Asal sayı Bu Kelimeyi Kediniz Aradınız Ve Bulamadığınız İçin Boş Safyadır

Demek Kelimesi Cümle İçerisinde Kullanımı

Eskilerin dediği gibi beşer, şaşar. -  Muşmulaya döngel de derler.

Kamer `ay` demektir. -  Küt dedi, düştü. -  Bu işe herkes ne der? -  Güzellik desen onda, zenginlik desen onda. -  Bundan sonra gelir mi dersin? -  Saat yedi dedi mi uyanırım. - Kımıldanayım deme, kurşunu yersin. Ağzını açayım deme, çok fena olursun. - Yarım milyon dediğin nedir? - Okuryazar olmak adam olmak demek değildir. -  Vay! Beni kovuyorsun demek, pekâlâ! Asal sayı - Demek gideceksin.

Demek Kelimesi Kullanılan Atasözü Ve Deyimler

- dediği çıkmak - dediğinden (dışarı) çıkmak - dediğine gelmek

 - dedi mi - deme! - demediğini bırakmamak (veya koymamak) - deme gitsin  - demek istemek , - demek ki (veya demek oluyor ki) , - demek olmak , - dememek - der oğlu der - deyip de geçmemek - diyecek yok - dediği çıkmak , {buraya- - dediğinden (dışarı) çıkmak - dediğine gelmek i, - dedi mi , {buraya- - deme! - demediğini bırakmamak (veya koymamak) - deme gitsin , - demek istemek - demek ki (veya demek oluyor ki) - demek olmak - dememek - der oğlu der - deyip de geçmemek - diyecek yok

Asal sayı

Asal sayı Nedir? Asal sayı Ne demek? , Asal sayı Kelimesi İle ilgili Daha Fazla Bilgi , Almak İçin Kategoriler Sayfamıza Bakınız. İlgili Sözlük Kelimeler Listesi

Asal sayı Kelimesinin Anlamı? Asal sayı Ne Demek? Asal sayı Ne Demektir? ,Asal sayı Analizi? Asal sayı Anlamı Nedir? Asal sayı Ne Demektir?, Asal sayı Açıklaması Nedir? , Asal sayı Cevabı Nedir? , Asal sayı Kelimesinin Anlamı?






Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir?

Asal sayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
İki ile on iki arasındaki noktaların grupları, bileşik sayıların (4, 6, 8, 9, 10 ve 12) dikdörtgen şekillerde düzenlenebildiğini fakat asal sayıların bu düzenlemeye uygun olmadığını gösterir
Bileşik sayılar, dikdörtgen biçimlerine düzenlenebilirken, asal sayıların bu biçimde düzenlenmesi mümkün değildir.

Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım (2 × 2) şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Bir sayının asal oluş özelliği, asallık olarak tanımlanır. Verilen bir sayısının asallığını denetlemek için kullanılan basit fakat zaman alıcı bir yöntem olan asallık testi, sayısının 2 ile arasındaki herhangi bir tam sayıya katı olup olmadığını sınar. Daha hızlı algoritmalar arasında, hızlı olmasına karşın küçük bir hata payı barındıran Miller–Rabin asallık testi ve her zaman polinom zamanında doğru sonucu veren fakat pratikte uygulanabilirliği sınırlı olan AKS asallık testi yer alır. Mersenne sayıları gibi özel biçimlere sahip sayılar için özellikle hızlı yöntemler mevcuttur. (Aralık 2018 (2018-12) itibarıyla), bilinen en büyük asal sayı, 24,862,048 ondalık basamağa sahip bir Mersenne asalıdır.[1]

M.Ö. 300 civarında Öklid tarafından ispatlandığı gibi, asal sayılar sonsuz bir kümedir. Asal sayılar ile bileşik sayıları birbirinden ayıran kesin ve basit bir formül bulunmamaktadır. Bununla birlikte, doğal sayılar arasındaki asal sayıların dağılımı, genel olarak istatistiksel yöntemlerle modellenebilir. Bu bağlamda elde edilen ilk önemli sonuç, 19. yüzyılın sonlarında ispatlanan asal sayı teoremidir; bu teori, büyük bir sayının rastgele seçilmesi durumunda asal olma olasılığının, sayının basamak sayısına, yani logaritmasına ters oranlı olduğunu ifade eder.

Asal sayılara ilişkin tarihsel bazı sorular henüz çözüme kavuşturulmamıştır. Bu sorular içerisinde her 2'den (En küçük asal sayı 2'dir.[2]) büyük çift tam sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini ileri süren Goldbach'ın hipotezi ve ikişer rakam aralıkla sınırsız sayıda ikiz asal sayı çiftinin var olduğunu iddia eden ikiz asal hipotezi yer almaktadır. Bu tür sorular, sayıların analitik ve cebirsel boyutları üzerine yoğunlaşan sayı teorisi alanlarının gelişimini hızlandırmıştır. Asal sayılar, bilgi teknolojisi alanında, özellikle de büyük sayıların asal çarpanlara ayrılmasının güçlüğüne dayanan açık anahtarlı kriptografi gibi çeşitli işlemlerde kullanılmaktadır. Soyut cebirde, asal sayılara genelleştirilmiş bir biçimde benzeyen yapılar arasında asal elemanlar ve asal idealler sayılabilir.

Tanım ve örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir doğal sayı (1, 2, 3, 4, 5, 6, vb.), 1'den büyük olması ve kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilememesi durumunda asal sayı olarak nitelendirilir. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara bileşik sayılar adı verilir.[3] Diğer bir ifadeyle, eğer sayısı, kendinden küçük birden fazla eşit parçaya bölünemez ise,[4] ya da kadar nokta tam bir dikdörtgen olarak şekillendirilemez ise[5], bir asal sayıdır.

Örneğin, 1 ile 6 arasındaki sayılar içinde, 2, 3 ve 5 sayıları asal sayılardır,[6] zira bu sayıları kendinden başka tam bölebilen (kalan bırakmaksızın) başka bir sayı yoktur. 1 sayısı, tanım gereği asal olarak kabul edilmez. 4 = 2 × 2 ve 6 = 2 × 3 her ikisi de bileşik sayı kategorisindedir.

Cuisenaire çubukları kullanılarak yapılan gösterim, 7 sayısının asal olduğunu, çünkü 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarıyla tam olarak bölünemediğini ortaya koyuyor.
Cuisenaire çubukları kullanılarak yapılan gösterim, 7 sayısının asal olduğunu, çünkü 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarıyla tam olarak bölünemediğini ortaya koyuyor

Bir doğal sayı 'in bölenleri, sayısını eşit olarak bölebilen doğal sayılardır. Her doğal sayı, kendisi ve 1 olmak üzere iki temel bölene sahiptir. Eğer bir sayının bu ikisinden başka bir böleni varsa, asal sayı olamaz. Bu durum, asal sayıların alternatif bir tanımını sunar: Yalnızca iki pozitif bölene sahip olan sayılar asal sayılardır. Bu iki bölen, 1 ve sayının kendisidir. Tek bir bölene sahip olan 1 sayısı, bu tanım çerçevesinde asal kabul edilmez.[7] Aynı kavramı başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bir sayı , 1'den büyükse ve sayılarından hiçbiri sayısını eşit bölmezse, o sayı asaldır.[8]

İlk 25 asal sayı (100'den küçük tüm asal sayılar) şunlardır:[9]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (OEIS'de A000040 dizisi).

2'den büyük hiçbir çift sayı asal olamaz çünkü herhangi bir böyle sayı olarak ifade edilebilir. Bu nedenle, 2 dışındaki her asal sayı bir tek sayıdır ve tek asal olarak adlandırılır.[10] Benzer şekilde, alışılagelmiş ondalık sistemde yazıldığında, 5'ten büyük tüm asal sayılar 1, 3, 7 veya 9 ile biter. Diğer rakamlarla biten sayılar hep bileşiktir: 0, 2, 4, 6 veya 8 ile biten ondalık sayılar çifttir ve 0 veya 5 ile biten ondalık sayılar 5'e bölünebilir.[11]

Tüm asalların kümesi bazen (kalın harflerle büyük bir P)[12] veya (tahtaya yazı tipiyle büyük bir P) ile gösterilir.[13]

Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]

Rhind Papirüsü
Rhind Papirüsü

M.Ö. 1550 civarından kalan Rhind Papirüsü, asal ve bileşik sayılar için farklı formdaki Mısır kesri genişlemelerini içerir.[14] Ancak, asal sayıların incelenmesine dair en eski kayıtlar antik Yunan matematikçilerinden gelmektedir, onlar bu sayılara prōtos arithmòs (Grekçeπρῶτος ἀριθμὸς) demektedirler. Öklid'in Elementleri (M.Ö. 300 civarı) asal sayıların sonsuzluğunu ve aritmetiğin temel teoremini kanıtlar ve bir Mersenne sayısından nasıl bir mükemmel sayı oluşturulacağını gösterir.[15] Başka bir Yunan icadı olan Eratosten kalburu, asal sayı listeleri oluşturmak için hala kullanılmaktadır.[16][17]

Miladi 1000 yıllarında, İslam dönemi matematikçisi İbnü'l-Heysem, asal sayıları, ifadesini tam bölünebilen sayıları olarak tanımlayan Wilson teoremi'ni buldu. Ayrıca, tüm çift mükemmel sayıların Öklid'in Mersenne asallarını kullanarak yapılan inşasından geldiğini öne sürdü ancak bunu kanıtlayamadı.[18] Bir diğer İslam dönemi matematikçisi, Ibn al-Banna' al-Marrakushi, Eratosten kalburunun, üst sınırın kareköküne kadar olan asal bölenleri dikkate alarak hızlandırılabileceğini gözlemledi.[17] Fibonacci, İslami matematikten gelen yenilikleri Avrupa'ya taşıdı. Onun kitabı Liber Abaci (1202), asallığı test etmek için deneme bölmesini tanımlayan ilk eser oldu ve yine kareköküne kadar olan bölenleri kullanmayı önerdi.[17]

1640 senesinde, Pierre de Fermat tarafından ispatı yapılmamış olmasına rağmen ortaya atılan Fermat'nın küçük teoremi, sonradan Leibniz ve Euler tarafından ispatlanmıştır.[19] Fermat, formülüyle ifade edilen Fermat sayılarının asallık özelliklerini araştırmış,[20] Marin Mersenne ise 'nin asal olduğu durumlarda formunda tanımlanan Mersenne asallarını incelemiştir.[21] Goldbach, Euler'e yazdığı 1742 tarihli mektupta, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öneren Goldbach hipotezini dile getirmiştir. Euler, tüm çift mükemmel sayıların Mersenne asalları kullanılarak oluşturulabileceğini gösteren Heysem varsayımını (günümüzde Öklid–Euler teoremi olarak adlandırılır) kanıtlamıştır.[22] Euler ayrıca, asal sayıların sonsuz olduğunu ve asal sayıların terslerinin toplamının diverjansını, , matematiksel analiz metodolojilerini bu alana taşıyarak kanıtlamıştır.[23] 19. yüzyılın başlarında, Legendre ve Gauss, sonsuza yaklaştıkça, 'e kadar olan asal sayıların sayısının, ile asimptotik olduğunu tahmin etmişlerdir, burada , 'in doğal logaritmasıdır. Asal sayıların bu yüksek yoğunluğunun bir zayıf sonucu Bertrand'ın postülatı idir; bu postülat her için, ile arasında bir asal sayı olduğunu öne sürer ve 1852'de Pafnuty Chebyshev tarafından kanıtlanmıştır.[24] Bernhard Riemann'ın 1859 tarihli zeta-fonksiyonu üzerine yazdığı makalesindeki fikirleri, Legendre ve Gauss'un tahminini kanıtlamak için bir çerçeve çizdi. Yakından ilgili olan Riemann hipotezi hala kanıtlanmamış olmasına rağmen, Riemann'ın çizdiği çerçeve 1896'da Hadamard ve de la Vallée Poussin tarafından tamamlandı ve sonuç şimdi asal sayılar teoremi olarak bilinmektedir.[25] 19. yüzyılın başka bir önemli sonucu Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi idi, belirli aritmetik dizilerin sonsuz çoklukta asal sayı içerdiğini belirtir.[26]

Deneme bölmesinin pratikte uygulanabilir olduğu sayılardan daha büyük sayılar için birçok matematikçi asallık testi üzerinde çalışmıştır. Belirli sayı formlarına sınırlı yöntemler arasında Fermat sayıları için Pépin testi (1877),[27] Proth teoremi (yaklaşık 1878),[28] Lucas–Lehmer asallık testi (1856'da ortaya çıktı) ve genelleştirilmiş Lucas asallık testi bulunmaktadır.[17]

Bilgisayarla yapılan asallık testlerinin ve çarpanlara ayırma işleminin artan pratik önemi, kısıtlama olmaksızın büyük sayılarla başa çıkabilen gelişmiş yöntemlerin geliştirilmesine yol açtı.[16][29][30] Asal sayılar teorisinin matematiksel gelişimi, asal sayıların keyfi olarak uzun aritmetik dizilerinin olduğunu belirten Green–Tao teoremi (2004) ve Yitang Zhang'ın 2013'te sınırlı büyüklükte sonsuz çoklukta asal boşluklarının olduğunun kanıtı ile de ileriye taşındı.[31]

1 sayısının asallığı[değiştir | kaynağı değiştir]

Antik Yunanlıların çoğu, başlangıçta 1'i bir sayı olarak bile kabul etmemiştir,[32][33] dolayısıyla asallığını tartışmaları mümkün değildi. Nicomachus, Iamblichus, Boethius ve Cassiodorus gibi birkaç Yunan ve sonraki Roma geleneği alimi, asal sayıları tek sayıların bir alt bölümü olarak kabul ettiği için, 2'yi de asal olarak kabul etmemişlerdir. Ancak, Öklid ve diğer birçok Yunan matematikçisi 2'yi asal olarak kabul etmiştir. Ortaçağ İslam matematikçileri genellikle Yunanlıların görüşlerini takip ederek 1'i bir sayı olarak görmemişlerdir.[32] Orta Çağ ve Rönesans boyunca matematikçiler 1'i bir sayı olarak kabul etmeye başlamış ve bazıları onu ilk asal sayı olarak dahil etmiştir.[34] 18. yüzyılın ortalarında Christian Goldbach, Leonhard Euler ile olan yazışmalarında 1'i asal olarak listelemiştir; ancak, Euler kendisi 1'i asal olarak kabul etmemiştir.[35] 19. yüzyılda birçok matematikçi hala 1'i asal olarak kabul etmiş,[36] ve 1'i içeren asal sayı listeleri en son 1956 yılında yayımlanmıştır.[37][38]

1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır.[39] Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları gibi. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bâzı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.[40][41][42]

Resimdeki örnek 11'in asal olup 12'nin asal olmadığını gösteriyor.

Bir sayının asal olarak tanımlanması değiştirilip 1 asal olarak kabul edilseydi, asal sayılarla ilgili birçok ifade daha zor bir şekilde yeniden formüle edilmek zorunda kalırdı. Örneğin, aritmetiğin temel teoremi, her sayının 1'in istenilen sayıda kopyasıyla çeşitli faktörizasyonları olacağı için, 1'den büyük asallara göre faktörizasyonlar açısından yeniden ifade edilmek zorunda kalırdı.[36] Benzer şekilde, Eratosthenes kalburu 1'i bir asal olarak ele alırsa doğru çalışmazdı çünkü 1'in tüm katlarını (yani, tüm diğer sayıları) elemek ve sadece 1 sayısını çıkarmak zorunda kalırdı.[38] Asal sayıların bazı diğer daha teknik özellikleri de 1 numarası için geçerli değildir: örneğin, Euler'in totient fonksiyonu veya bölenler toplamı fonksiyonu için formüller asal sayılar için 1 ile farklıdır.[43] 20. yüzyılın başlarında, matematikçiler 1'in asal olarak listelenmemesi, ancak daha çok "birim" olarak kendi özel kategorisinde yer alması gerektiği konusunda anlaşmaya başladılar.[36]

Temel özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Çarpanlama[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir sayının asal sayıların çarpımı olarak yazılması, o sayının asal çarpanlara ayrılması olarak adlandırılır. Örneğin:

Bu çarpımdaki terimlere asal çarpanlar denir. Aynı asal çarpan birden fazla bulunabilir; bu örnekte asal çarpan iki defa görülmektedir. Bir asal sayı birden fazla kez bulunduğunda, üssel sayılar kullanılarak aynı asal sayı gruplandırılabilir: örneğin, yukarıdaki sonucun ikinci yazım şeklinde, , sayısının karesini veya ikinci kuvvetini gösterir.

Asal sayıların sayılar teorisi ve genel olarak matematiğe merkezi önemi, aritmetiğin temel teoreminden kaynaklanmaktadır.[44] Bu teorem, 1'den büyük her tam sayının bir veya daha fazla asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini belirtir. Daha da önemlisi, bu çarpım özeldir; yani, aynı sayının her iki asal çarpanlarının çarpımı, çarpanların sıralaması farklı olsa bile, aynı asal sayıların aynı sayıda kopyasını içerecektir.[45] Dolayısıyla, bir asal çarpanlarına ayırma algoritması kullanılarak çarpanlara ayırma işlemi yapmanın birçok farklı yolu olmasına rağmen, hepsi aynı sonucu üretmek zorundadır. Bu nedenle, asal sayılar doğal sayıların "temel yapı taşları" olarak kabul edilebilir.[46]

Asal çarpanlara ayrılmanın benzersizliğinin kanıtlarından bazıları, Öklid'in lemmasına dayanır: Eğer bir asal sayıysa ve , ve tam sayılarının çarpımı olan 'yi bölerse, o zaman , ya 'yı ya da 'yi (veya her ikisini de) böler.[47] Aksine, bir sayı , bir çarpımı böldüğünde daima çarpımın en az bir faktörünü bölerse, o zaman asal olmalıdır.[48]

Sonsuzluk[değiştir | kaynağı değiştir]

Asal sayıların sayısı sonsuzdur. Diğer bir deyişle, asal sayı dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

asla son bulmaz. Bu tez, antik Yunan matematikçisi Öklid onuruna, "Öklid Teoremi" olarak isimlendirilmiştir çünkü bu tezin bilinen ilk ispatı onun adıyla ilişkilendirilir. Asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlayan birçok metod mevcuttur; bunlar arasında, Euler tarafından gerçekleştirilen analitik ispat, Goldbach'ın Fermat sayıları üzerine kurulu ispatı,[49] Furstenberg'in genel topoloji kullanarak sunduğu kanıtı,[50] ve Kummer'in ispatı sayılabilir.[51]

Öklid'in ispatı,[52] herhangi bir sonlu asal sayı listesinin eksik olduğunu gösterir. Ana fikir, verilen listedeki asal sayıların hepsini çarparak eklemektir. Eğer liste asal sayılarından oluşuyorsa, bu

sayısını verir.

Temel teorem gereğince, sayısı,

şeklinde bir veya daha fazla asal çarpan içeren bir asal çarpanlara ayırımına sahiptir. sayısı, bu çarpanlarca tam bölünebilirken, verilen asal sayı listesindeki herhangi bir sayı ile bölündüğünde 1 kalanını verir; bu durum, sayısının asal çarpanlarının verilen liste içinde yer alamayacağını gösterir. Asal sayıların sonlu bir listesinin olmaması gerçeği, asal sayıların sonsuz olduğunu zorunlu kılar.

En küçük asal sayıların çarpımlarına bir eklenerek oluşturulan sayılara Öklid sayısı adı verilir.[53] Bunlardan ilk beşi asal olmakla birlikte, altıncısı,

şeklindedir.

Asal sayı denklemleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Asal sayıları tespit etmek için bilinen etkin bir yöntem mevcut değildir. Öyle ki, yalnızca asal sayı değerleri üreten, sabit olmayan çok değişkenli bir polinom dahi bulunamamıştır.[54] Bununla birlikte, yalnızca asal sayıları veya tüm asal sayıları temsil edebilen çeşitli ifadeler mevcuttur. Bu ifadelerden biri, Wilson teoremi'ne dayalı olup, 2 sayısının defalarca ve diğer tüm asal sayıların ise sadece bir kez elde edilmesini sağlayan bir formüldür.[55] Dokuz değişken ve bir parametreye sahip Diyofantus denklemlerinden oluşan bir küme de mevcuttur; bu kümenin belirgin bir özelliği şöyledir: Eğer ve ancak eğer bu denklem sistemi doğal sayılar kümesi üzerinde bir çözüme sahipse, ilgili parametre bir asal sayıdır. Bu özellik, tüm pozitif değerleri asal sayı olan bir formülün elde edilmesi amacıyla kullanılabilir.[54]

Mills teoremi ve Wright tarafından öne sürülen bir teoremle ilgili olarak, asal sayılar üreten diğer formüller de mevcuttur. Bu teoremler, ve şeklinde ifade edilen gerçek sabitlerin varlığını öne sürer.

İlk formülde, herhangi bir doğal sayısı için belirtilen sayılar asal niteliktedir; ikinci formülde ise, üslerin herhangi bir sayıda oluşu durumunda da sayılar asal özellik gösterirler.[56] Bu bağlamda, sembolü, incelenen sayıya eşit veya bu sayıdan daha az olan en yüksek tam sayıyı ifade eden taban fonksiyonunu belirtmektedir. Fakat, veya değerlerinin hesaplanabilmesi için asal sayıların ilk etapta elde edilmiş olması gerekliliği göz önünde bulundurulduğunda, bu formüllerin asal sayı üretimi açısından pratikte bir yararı bulunmamaktadır.[54]

Çözüm bekleyen sorular[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematik alanında, asal sayılarla ilgili bir dizi varsayım ileri sürülmüştür. Çoğunlukla temel bir ifade şekliyle ortaya konan bu varsayımlar, onlarca yıl süresince ispatlanamamıştır: 1912 yılında ortaya atılan Landau problemleri başlığı altındaki dört soru günümüze dek çözülememiştir.[57] Bu varsayımlardan bir tanesi, 2'den büyük olan her çift tam sayı 'nin, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini öne süren Goldbach hipotezi ile ilişkilendirilmiştir.[58] 2014 itibarıyla, söz konusu varsayım, değerine ulaşan tüm sayılar için teyit edilmiştir.[59] Bu iddiadan daha zayıf önermeler ispatlanmıştır; mesela, Vinogradov teoremi, yeterli büyüklükteki her tek tam sayının, üç asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini belirtmektedir.[60] Chen teoremi, yeterli büyüklükteki herhangi bir çift sayının, bir asal sayı ile bir yarı asal (iki asal sayının çarpımı) toplamı şeklinde gösterilebileceğini öne sürmektedir.[61] Bunun yanı sıra, 10 değerinden büyük olan her çift tam sayı, altı asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir.[62] Bu tür soruların incelendiği sayı teorisi dalı, toplamsal sayı teorisi olarak adlandırılmaktadır.[63]

Ardışık asal sayılar arasındaki farkları ifade eden asal boşlukları ile ilgili bir başka problem türü bulunmaktadır. Herhangi bir doğal sayısı için, dizisinin adet bileşik sayı içerdiği göz önüne alındığında, istenilen büyüklükte asal boşlukların mevcudiyeti tespit edilebilir.[64] Bununla birlikte, büyük asal aralıkların oluşumu, bu argümanın işaret ettiğinden çok daha önce gerçekleşmektedir.[65] Mesela, 8 birimlik ilk asal sayı farkı, 89 ile 97 arasındaki asal sayılar arasında gözlemlenir,[66] bu, değerinden önemli ölçüde daha düşüktür. İki asal sayı arasındaki farkın 2 olması durumunda, ikiz asal çiftlerinin sonsuz sayıda var olduğu öne sürülmektedir; bu önerme, 'ikiz asal hipotezi' olarak bilinir. Polignac hipotezi ise daha geniş bir perspektiften, her pozitif tam sayı değeri için, ardışık asal sayı çiftlerinin farkla ayrıldığı durumların sonsuz sayıda olduğunu ifade etmektedir.[67]

Andrica hipotezi,[67] Brocard hipotezi,[68] Legendre hipotezi[69] ve Oppermann hipotezi,[68] ile arasındaki asal sayılar arasındaki maksimum boşlukların yaklaşık olarak en fazla olması gerektiğini ileri sürmektedir; bu çıkarım, Riemann hipotezi çerçevesinde elde edilen bilinen bir sonuçtur. Ancak, daha iddialı olan Cramér hipotezi, en büyük boşluk boyutunu olarak tahmin etmektedir. İki asal sayı arasındaki boşluklar, asal sayıların arasındaki farkların desenlerini ifade eden asal -ikililer şeklinde genelleştirilebilir. Bu desenlerin sonsuz sayıda varlığı ve yoğunluğu, asal sayıların, asal sayı teoremi ile belirlenen yoğunluğa sahip rastgele bir sayı dizisi gibi davrandığını öneren sezgisel temellere dayanan ilk Hardy–Littlewood hipotezinin inceleme konusudur.[70]

Analitik özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Analitik sayı teorisi, sayı teorisini, sürekli fonksiyonlar, limitler, sonsuz seriler ve bunların yanı sıra sonsuzluk ve sonsuz küçük kavramlarıyla ilişkili matematiksel yapılar üzerinden detaylı bir şekilde araştırır.

Bu araştırma alanının kökenleri, Leonhard Euler'in Basel problemini çözümüyle ilişkilendirilen ilk önemli çalışmasına dayanır. İlgili sorun, şeklinde ifade edilen sonsuz serinin değerinin ne olduğunu sorgulamaktadır; bu değer günümüzde Riemann zeta fonksiyonu'nun değeri olarak kabul edilmektedir. Söz konusu fonksiyon, asal sayılarla ve matematiğin en önemli çözülememiş problemlerinden biri olan Riemann hipotezi ile sıkı bir şekilde ilişkilidir. Euler'in bu konudaki katkısı, eşitliğini ispatlamasıyla öne çıkmaktadır.[71] Bu sayının ters değeri olan , geniş bir değer aralığından uniform dağılımla seçilen iki rastgele sayının birbirleriyle aralarında asal (yani ortak hiçbir çarpana sahip olmayan) olma ihtimalinin sınır değerini temsil etmektedir.[72]

Büyük ölçekte asal sayıların dağılımı, örneğin belirli bir büyük eşik değerinden daha küçük olan asal sayıların sayısı gibi sorular, asal sayı teoremi tarafından açıklanmaktadır; fakat -inci asal sayıyı belirleyen etkin bir formül mevcut değildir. Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoreminin temel versiyonu, aralarında asal olan ve tam sayıları için

biçimindeki doğrusal polinomların sonsuz sayıda asal değere ulaştığını öne sürer. Teoremin ileri versiyonları, bu asal değerlerin terslerinin toplamının ıraksadığını ve aynı değerine sahip farklı doğrusal polinomların asal sayılar bakımından yaklaşık olarak aynı oranlara sahip olduğunu ifade eder. Daha yüksek dereceli polinomlarda asal sayı oranlarına ilişkin varsayımlar ortaya konmuş olmakla birlikte, bu varsayımlar henüz kanıtlanmamıştır ve tam sayı girdileri için sonsuz kez asal olan bir kuadratik polinomun varlığı bilinmemektedir.

Öklid teoreminin analitik ispatı[değiştir | kaynağı değiştir]

Euler'ın asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlama yöntemi, asal sayıların terslerinin toplamlarını incelemektedir,

Euler, herhangi bir reel sayı için, bu toplamın değerinden daha büyük olacağı bir asal sayısının mevcut olduğunu kanıtlamıştır.[73]

Bu durum, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunun bir göstergesidir; zira sonlu sayıda asal sayı var olsaydı, bu toplam, her bir değerini aşmak yerine, en büyük asal sayıda en yüksek değerine erişirdi. Bu serinin büyüme oranı, Mertens' ikinci teoremi ile daha detaylı bir biçimde tanımlanmıştır.[74] Karşılaştırma amacıyla,

toplamı, sonsuza yaklaştıkça sonsuzluğa yönelmez (bkz. Basel problemi). Bu çerçevede, her iki küme de sonsuz sayıda olmasına rağmen, asal sayıların doğal sayı karelerine göre daha sıklıkla ortaya çıktığı görülmektedir.[75]

Brun teoremi, ikiz asalların terslerinin toplamının,

sonlu bir değere sahip olduğunu ifade etmektedir. Brun teoremi nedeniyle, Euler metodunun, sonsuz sayıda ikiz asalın var olduğu iddiasını ele alan ikiz asal hipotezini çözümlemek amacıyla kullanılabilmesi mümkün değildir.[75]

Belirli bir üst sınıra kadar olan asal sayıların miktarı[değiştir | kaynağı değiştir]

Göreceli hatanın ve logaritmik integral , asal sayıları sayma fonksiyonu ile olan yakınsaklığına dair incelemesi. değerinin artışı ile her iki göreceli hata oranı da azalarak sıfıra ulaşmaktadır; ancak, logaritmik integralin sıfıra yakınsama hızı, öteki yaklaşıma göre çok daha fazladır.

Asal sayıları sayma fonksiyonu olarak adlandırılan , değerine eşit veya ondan küçük olan asal sayıların toplam sayısını ifade etmek için kullanılan bir fonksiyondur.[76] Örnek olarak, olarak ifade edilir; zira 11 sayısına eşit veya bu sayıdan daha küçük olan beş adet asal sayı mevcuttur. Meissel–Lehmer algoritması gibi metodlar, 'ye kadar olan asal sayıların her birini tek tek sıralamaktan çok daha hızlı bir şekilde değerinin doğru hesaplamasını gerçekleştirebilir.[77]

Asal sayı teoremine göre, değeri, ifadesine asimptotiktir, yani

şeklinde gösterilir.

Bu durum, ile sağ taraftaki ifadenin oranının, değeri sonsuzluğa ulaştıkça 1 değerine yakınsadığını ifade eder.[78] Bu durum, değerinden daha küçük rastgele bir sayının asal sayı olma ihtimalinin, (yaklaşık olarak) sayısının basamak sayısına ters orantılı olduğunu göstermektedir.[79]

Bu durum, aynı zamanda, sıradaki asal sayının büyüklüğünün ile orantılı olduğunu[80] ve bunun sonucu olarak, asal sayılar arasındaki ortalama boşluk büyüklüğünün ile orantılı olduğunu göstermektedir.[65] değerinin daha doğru bir tahmini, logaritmik integral kullanılarak sağlanmaktadır.[78]

Aritmetik diziler[değiştir | kaynağı değiştir]

Aritmetik dizi, dizide yer alan ardışık sayıların her biri arasında sabit bir fark bulunan, sonlu veya sonsuz bir sayılar dizisini ifade eder.[81] Bu farka, dizinin modülü denir.[82] [83] Örneğin,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

9 modül değerine sahip bir sonsuz aritmetik diziyi temsil eder. Aritmetik bir dizideki sayılar, modül değerine bölündüklerinde aynı kalanı alır; bu durumun bir örneği olarak, kalanın 3 olduğu görülür. Modülün 9 ve kalanın 3 olması, her iki değerin de 3'ün katları olması anlamına gelir, bu yüzden dizideki her bir eleman da 3'ün katıdır. Bu sebeple, bu dizi sadece bir tek asal sayı içermektedir, ki o da 3'tür. Genel anlamda, sonsuz dizi

ancak kalan ve modül birbirine göre asal olduğunda birden fazla asal sayı içerebilir. Eğer bu iki değer birbirine göre asal ise, Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi, ilerlemenin sonsuz sayıda asal sayı içerdiğini öne sürer.

Prime numbers in arithmetic progression mod 9
İncelemiş olduğumuz yatay şeridin her bir sırası, modül 9'a göre mümkün olan dokuz farklı dizi ilerlemesinden bir tanesini temsil etmekte olup, asal sayılar kırmızı renkle vurgulanmıştır. Mod 9 değerleri 0, 3 veya 6 olan sayı dizileri, en fazla bir adet asal sayıyı (bu sayı 3'tür) barındırabilirken; mod 9 değerleri 2, 4, 5, 7 ve 8 olan sayı dizileri, her bir dizi içinde benzer asal sayı miktarlarıyla birlikte, sonsuz sayıda asal sayı içermektedir.

Green–Tao teoremi, yalnızca asal sayılardan müteşekkil ve herhangi bir uzunlukta olabilen sonlu aritmetik dizilerin mevcudiyetini ispatlamaktadır.[31][84]

Kuadratik polinomlar tarafından üretilen asal sayı değerleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Ulam spirali
Ulam spirali. Asal sayılar (kırmızı olarak belirtilmiştir), belirli diyagonaller üzerinde yoğun bir dağılım gösterirken, bazı diyagonallerde bu yoğunluk gözlemlenmemektedir. biçiminde ifade edilen kuadratik polinomdan elde edilen asal sayı değerleri mavi renkle işaretlenmiştir.

Euler, biçiminde ifade edilen fonksiyonun aralığındaki n değerleri için asal sayı değerleri ürettiğine dikkat çekmiştir; bununla birlikte, bu fonksiyonun ileri değerleri arasında bileşik sayıların da yer aldığı gözlemlenmiştir.[85][86] Bu fenomen için bir açıklama arayışı, Heegner sayıları ve sınıf sayısı problemi ile ilgili olarak, cebirsel sayı teorisinin derinliklerine dalmayı gerektirmiştir.[87] Hardy–Littlewood F hipotezi, tam sayılı katsayılara sahip ikinci dereceden polinomların değerleri içerisindeki asal sayıların yoğunluğunun, logaritmik integral ve polinom katsayılarının fonksiyonu olarak öngörülmesine yöneliktir. Şu ana kadar, herhangi bir ikinci dereceden polinomun sonsuz sayıda asal sayı değeri ürettiği ispatlanamamıştır.[88]

Ulam spirali, doğal sayıları, orijini çevreleyen konsantrik kareler halinde spiral bir düzende iki boyutlu bir ızgara üzerine yerleştirir ve asal sayıları belirginleştirir. Görsel bir inceleme sonucunda, asal sayıların belirli diyagonaller üzerinde, diğerlerine kıyasla daha yoğun bir şekilde gruplandığı görülmekte, bu durum bazı ikinci dereceden polinomların, diğerlerine nazaran daha sıklıkla asal değerler ürettiği yönünde bir izlenim uyandırmaktadır.[88]

Zeta fonksiyonu ve Riemann hipotezi[değiştir | kaynağı değiştir]

Zeta fonksiyonunun mutlak değerlerine dair çizim
Zeta fonksiyonunun mutlak değerlerine ilişkin çizim, fonksiyonun belirli özelliklerini sergilemektedir

1859 yılından itibaren matematik alanında aydınlatılamamış en meşhur meselelerden biri, aynı zamanda Milenyum Problemleri arasında yer alan Riemann hipotezi, Riemann zeta fonksiyonu ’nun sıfır noktalarının konumlarını sorgular. Bu fonksiyon, karmaşık sayılar üzerinde tanımlı bir analitik fonksiyon niteliğindedir. Reel kısmı bir değerinden büyük karmaşık sayıları için, fonksiyon hem tüm tam sayılar üzerinden hesaplanan bir sonsuz seri, hem de asal sayılar üzerinden tanımlanan bir sonsuz çarpım ile ifade edilir,

Euler tarafından ortaya konulan bu toplam ile çarpım arasındaki denklik, Euler çarpımı olarak isimlendirilmiştir.[89] Euler çarpımı, aritmetiğin temel teoremi sayesinde elde edilmiş olup, zeta fonksiyonunun asal sayılarla derinlemesine ilişkisini açığa çıkarır.[90] Sonsuz sayıda asal sayı bulunması gerektiğini kanıtlama yolunda bu durum, eğer sadece sınırlı sayıda asal sayı varsa, toplam-çarpım eşitliğinin noktasında da geçerli olması gerekirken, toplamın diverjans gösterdiği (harmonik seri gibi), çarpımın ise sonlu bir değer alması gerektiğiyle sonuçlanan bir çelişki ile karşı karşıya kalınır.[91]

Riemann hipotezi, zeta fonksiyonunun sıfırlarının tamamının ya negatif çift sayılardan ya da reel kısımları 1/2'ye eşit olan karmaşık sayılardan oluştuğunu öne sürer.[92] Asal sayı teoreminin ilk kanıtı, bu hipotezin bir versiyonuna, yani reel kısmı 1 olan sıfırların var olmadığı varsayımına dayanmaktaydı,[93][94] fakat daha basit kanıtlar da ortaya konmuştur.[95] Asal sayı sayım fonksiyonu, Riemann'ın açık formülü aracılığıyla, zeta fonksiyonunun sıfırlarının her birinden bir terimin katkısıyla oluşan bir toplam şeklinde ifade edilebilir; bu toplamın temel bileşeni logaritmik integral olup, geri kalan terimler ana terimin üzerinde ve altında dalgalanmalara yol açar.[96] Bu bağlamda, sıfırların, asal sayıların dağılım düzenini belirlediği söylenebilir. Riemann hipotezi eğer doğruysa, bu dalgalanmalar minimale indirgenecek ve asal sayıların asimptotik dağılımı, asal sayı teoreminin öngördüğü gibi, sayısına yakın aralıklarda (yaklaşık olarak sayısının karekökü büyüklüğündeki aralıklar için) da geçerli olacaktır.

Soyut cebir[değiştir | kaynağı değiştir]

Modüler aritmetik ve sonlu alanlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Modüler aritmetik, modül olarak isimlendirilen bir doğal sayı için, yalnızca sayılarının kullanıldığı, geleneksel aritmetik işlemlerin modifiye edilmiş bir şeklidir. Diğer tüm doğal sayılar, ile bölme işlemi sonrasında elde edilen kalan değer ile bu sisteme dahil edilerek karşılıkları bulunur. [97]

Modüler toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri, tam sayıların geleneksel toplama, çıkarma veya çarpma işlemlerinin sonucuna, bu sonucun modülünün alınarak yerine konulması yöntemiyle gerçekleştirilir.[98]

Tam sayılar arasındaki eşitlik kavramı, modüler aritmetikte denklik olarak ifade edilir: ile , ile bölündüklerinde aynı kalan değerine sahip olduklarında denk olmaları durumu ( mod şeklinde belirtilir).[99]

Bu numaralandırma sisteminde, modül bir asal sayı olduğunda ve yalnızca o zaman, sıfır olmayan tüm sayılara bölme işlemi gerçekleştirilebilir. Mesela, modül olarak asal sayısının seçilmesi durumunda, sayısı ile bölme işlemi gerçekleştirilebilir: , zira her iki tarafın da ile çarpılması, paydalardaki terimlerin sadeleştirilmesi sonucunda geçerli denklemini ortaya çıkarır. Ancak, bileşik bir modül olan için, ile bölme işlemi gerçekleştirilemez. denkleminin geçerli bir çözümü bulunmamaktadır: payda terimlerinin ile çarpılması, denklemin sol tarafını yaparken sağ tarafını ya da olarak değiştirir. Soyut cebir terminolojisinde, bölme işleminin yapılabilir olması, bir asal sayının modülü altında modüler aritmetiğin bir alan, daha özgül bir ifadeyle bir sonlu alan oluşturduğu; ancak diğer modüllerin yalnızca bir halka sağladığı, fakat bir alan oluşturmadığı anlamına gelir.[100]

Asal sayılarla ilgili birçok teorem, modüler aritmetik kullanılarak ifade edilebilir. Mesela, Fermat'nın küçük teoremi, eğer bir (mod ) ise, o zaman (mod ) olacağını öne sürer. [101]

Tüm değerleri için bu toplamın gerçekleştirilmesi, şu denklemi ortaya çıkarır:

bu denklem, asal sayı olduğu durumlarda geçerlidir. Giuga hipotezi, bu denklemin, sayısının asal olması için yeterli bir koşul olduğunu ileri sürer.[102] Wilson teoremine göre, olan bir tam sayının asal olduğu; yalnız ve yalnız faktöriyelinin, modunda ile denk olması durumunda geçerlidir. Bileşik bir sayı için bu durum söz konusu olamaz, zira bu sayının çarpanlarından birisi, hem n hem de 'i bölebilecek ve bu nedenle eşitliği mümkün olmayacaktır.[103]

p-sel sayılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir tam sayının -sel düzeni , sayısının asal çarpan ayrıştırmasında asalının kaç defa yer aldığının göstergesidir. Bu kavram, tam sayılar için geçerli olduğu gibi, rasyonel sayılar için de, bir kesirin -sel düzeninin olarak tanımlanmasıyla genişletilebilir. Herhangi bir rasyonel sayı için -sel mutlak değer , şeklinde ifade edilir. Bir tam sayının -sel mutlak değeri ile çarpılması, onun çarpan ayrıştırmasındaki asal çarpanlarını ortadan kaldırır, sadece diğer asal sayıları bırakır. Tıpkı iki gerçek sayı arasındaki uzaklığın, onların farklarının mutlak değeri ile ölçülebilmesi gibi, iki rasyonel sayı arasındaki uzaklık da onların -sel uzaklığı, yani farklarının -sel mutlak değeri ile ölçülebilir. Bu uzaklık tanımına göre, iki sayı birbirine yakın kabul edilir (küçük bir uzaklığa sahiptirler) eğer farkları 'nin yüksek bir derecesi ile bölünebiliyorsa. Rasyonel sayıların ve onların uzaklıklarının ek sınırlayıcı değerler eklenerek gerçek sayılar gibi bir tam alan oluşturulduğu şekilde, -sel uzaklık ile rasyonel sayılar, farklı bir tam alan olan -sel sayılar olarak genişletilebilir.[104][105]

Bu düzen, mutlak değer ve bu kavramlardan türetilmiş tam alan kavramı, cebirsel sayı alanları ve bu alanların değerlendirmeleri (alanın çarpımsal grupundan tamamen sıralı bir toplamsal gruba, düzen olarak da adlandırılan, özel eşlemeler), mutlak değerler (alanı gerçek sayılara çarpan olarak eşleyen, norm olarak da bilinen, özel çarpan eşlemeler) ve yerler (verilen alanın yoğun bir küme olarak yer aldığı, tamamlamalar olarak adlandırılan, tam alanlara yapılan genişletmeler) kavramlarına genelleştirilebilir. [106]

Örneğin, rasyonel sayılardan reel sayılara yapılan genişleme, sayılar arasındaki uzaklığın, onların farklarının alışılagelen mutlak değerine dayandığı bir yer olarak tanımlanabilir. Bu bağlamda, bir toplamsal gruba yapılan karşılık gelen eşleme, mutlak değerin logaritması olurdu, fakat bu, bir değerlendirme için gerekli olan tüm özellikleri sağlamaz. Ostrowski teoremine göre, doğal bir denklik anlayışına kadar, gerçek sayılar ve -sel sayılar, onların düzen ve mutlak değerleri ile, rasyonel sayılar üzerinde tanımlanmış tek değerlendirmeler, mutlak değerler ve yerlerdir.[104] Yerel-küresel prensip, rasyonel sayılar üzerindeki belirli sorunların, onların her bir yerinden elde edilen çözümlerin birleştirilmesi yoluyla çözülebilmesini sağlar, bu durum asal sayıların sayı teorisindeki kritik önemini bir kez daha altını çizer.[107]

Halkalarda asal elemanlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Norm değeri 500'ü aşmayan Gauss asalları, kompleks sayılar içerisinde, özellikle Gauss tam sayıları kapsamında, asallık özelliği taşıyan özel bir sayı alt kümesini ifade eder. (Bu bağlamda "norm", vektör uzayındaki sıfır vektörü hariç, her bir vektöre katı bir şekilde pozitif bir uzunluk veya boyut atayan matematiksel bir fonksiyonu belirtir.)

Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin belirlendiği bir cebirsel yapı olan değişmeli halka, matematiksel yapıların bir çeşididir. Tam sayılar, bu yapıların bir örneği olup, tam sayılar içerisinde yer alan asal sayılar, asal elemanlar ve indirgenemez elemanlar şeklinde iki farklı yöntemle genellenmiştir. halkasındaki sıfırdan farklı elemanı, çarpmaya göre tersi olmadığında (yani bir birim olmadığında) ve elemanı, 'nin iki elemanının çarpımı ’i böldüğünde, veya elemanlarından en az birini bölebilme özelliğini gösterdiğinde asal olarak nitelendirilir. Bir elemanın ne bir birim ne de iki birim olmayan elemanların çarpımı olmaması durumunda ise indirgenemez olarak tanımlanır. Tam sayılar halkasında asal ve indirgenemez elemanlar aynı küme içinde bulunur,

Herhangi bir halkada, bütün asal elemanlar indirgenemez niteliktedir. Bu durumun tersi genellikle doğru olmamakla birlikte, benzersiz çarpanlara ayırma alanları için geçerlidir.[108]

Aritmetiğin temel teoremi, tanımı gereği, benzersiz çarpanlara ayırma alanları çerçevesinde geçerliliğini korur. Bu tür alanların bir örneği olarak üzerinden tanımlanan Gauss tam sayıları gösterilebilir. Bu alan, ve herhangi tam sayılar olmak üzere, formundaki karmaşık sayılardan oluşan bir halkayı ifade eder ve bu bağlamda , hayali birimi temsil eder. Bu yapıdaki asal elemanlara Gauss asal sayıları adı verilir. Tam sayılar arasında asal kabul edilen her sayının, Gauss tam sayıları içinde asal olarak kabul edilmemesi mümkündür; mesela, 2 sayısı, ve olmak üzere iki Gauss asalının çarpımı olarak ifade edilebilir. 3 mod 4 ile kongruent olan rasyonel asallar, Gauss tam sayılarında asal olarak kabul edilirken, 1 mod 4 ile kongruent olan rasyonel asallar asal olarak kabul edilmez.[109] Bu durum, Fermat'nın iki kare toplamı üzerine teoreminden kaynaklanır; bu teorem, tek bir asal sayı 'nin, formunda iki karenin toplamı olarak ifade edilebileceğini ve bu sayede 1 mod 4 iken şeklinde çarpanlara ayrılabileceğini öngörür.[110]

Asal idealler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bütün halkaların benzersiz çarpanlara ayrılabilen bölgeler olduğu genellenemez. Örnek olarak, tam sayılar ve için tanımlanan sayılar halkasında, sayısı şeklinde iki farklı çarpanlara ayrılabilir, ancak bu çarpanların hiçbiri daha ileri indirgenebilir durumda değildir; bu da benzersiz çarpanlara ayrım özelliğinin bulunmadığını gösterir. Benzersiz çarpanlara ayrım özelliğinin geniş bir halkalar sınıfına uygulanabilmesi için, sayı kavramı, bir halkanın öğeleri alt kümesi olan ve bu öğelerin çiftlerinin tüm toplamları ile halka öğeleri ile olan tüm çarpımlarını barındıran bir ideal ile yer değiştirebilir. Asal idealler, bir asal öğenin ürettiği başlangıç idealinin bir asal ideal olması anlamında asal öğeleri genelleştiren, ve değişmeli cebir, cebirsel sayılar teorisi ile cebirsel geometri alanlarında önemli bir araç ve araştırma nesnesidir. Tam sayılar halkasının asal idealleri ise (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... şeklinde sıralanabilir. Aritmetiğin temel teoremi, bir Noetherian değişmeli halka içerisindeki her idealin, birincil ideallerin bir kesişimi olarak tanımlanabileceğini belirten Lasker–Noether teoremi ile genelleştirilmiştir; bu ideal türleri, asal kuvvetlerin uygun bir şekilde genellenmiş halidir.[111]

Bir halkanın spektrumu, söz konusu halkanın asal ideallerini içeren noktalarla tanımlanan bir geometrik alandır.[112] Aritmetik geometri alanı, bu kavramdan önemli ölçüde yararlanmakta ve sayı teorisi ile geometri disiplinleri arasında çeşitli kavramsal paralellikler bulunmaktadır. Mesela, bir alana genişletme işlemi sonucu asal ideallerin faktörizasyonu veya dalgalanması gibi cebirsel sayı teorisinin temel problemleri, geometride dalgalanma fenomeni ile benzer özellikler gösterir. Tam sayılar üzerine kurulu sayı teorisi problemlerinin çözümünde bu kavramlar etkili olabilir. Kuadratik sayı alanlarının tam sayılar halkasındaki asal idealler, tam sayı asal sayıları üzerinde kare köklerin varlığını ifade eden kuadratik karşılıklılık teoreminin ispatlanmasında kullanılabilmektedir.[113] Fermat'nın Son Teoremi'ni ispatlama çabalarının ilk aşamaları, siklotomik tam sayılarda benzersiz çarpanlara ayrılmanın başarısız olması ile ilişkilendirilen tam sayı asal sayıları olan düzenli asalların, Kummer tarafından literatüre kazandırılmasına yol açmıştır.[114]

Cebirsel bir sayı alanında, kaç adet tam sayı asal sayısının, birden fazla asal idealin ürünü şeklinde faktörize olduğu meselesi, Çebotarev yoğunluk teoremi ile çalışılmıştır. Bu teorem, siklotomik tam sayılar bağlamında uygulandığında, aritmetik ilerlemelerde yer alan asal sayılar hakkındaki Dirichlet teoremini özel bir örnek olarak içermektedir.[115]

Grup kuramı[değiştir | kaynağı değiştir]

Sonlu gruplar kuramında, Sylow teoremleri bir asal sayının kuvvetinin bir grubun mertebesine bölünebilmesi durumunda, ilgili grubun mertebesinde en az bir altgruba sahip olduğunu belirtir. Lagrange teoremi uyarınca, asal sayıda bir mertebe ile tanımlanan her grup bir döngüsel grup niteliğindedir, ve Burnside teoremi tarafından, mertebesi yalnızca iki farklı asal sayı ile bölünebilen her grup, çözülebilir özellik gösterir.[116]

Hesaplamalı yöntemler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu tarım aletinin içerisinde yer alan küçük dişli, 13 dişe sahiptir ki bu bir asal sayıdır, ortada yer alan dişli ise 21 dişe sahiptir ve bu, 13 ile göreceli olarak asaldır.

Genel anlamda sayı teorisi ve özellikle asal sayılar üzerine yapılan çalışmalar, uzun bir süre boyunca, saf matematiğin matematik dışında herhangi bir uygulaması olmayan kanonik bir örneği olarak kabul edilmiştir[a]. Bunun istisnası, dişli çarkların aşınmasını eşit bir şekilde dağıtabilmek amacıyla dişli dişlerinin asal sayılarla belirlenmesi uygulamasıdır.[117] Bu bağlamda, Britanya'dan matematikçi G. H. Hardy gibi sayı teorisyenleri, çalışmalarının açık bir şekilde herhangi bir askeri amaç taşımadığından dolayı övünç duymuştur.[118]

1970'li yıllarda, asal sayıların açık anahtarlı şifreleme algoritmaları geliştirmek için bir temel olarak kullanılabileceğinin kamuoyuna duyurulmasıyla, sayı teorisinin saflık vizyonu ciddi bir şekilde sarsılmıştır.[119] Bu uygulamalar, asal sayılarla hesaplama yapabilen algoritmaların ve özellikle de bir sayının asal olup olmadığını belirlemeye yönelik yöntemlerin, yani asallık testlerinin, kapsamlı bir şekilde incelenmesini teşvik etmiştir. Büyük sayılar için kullanışlı olmaktan uzak, en temel asallık testi yöntemi olan deneme bölme yöntemi, yavaşlığı sebebiyle eleştirilmiştir. Modern asallık testlerinin bir kısmı herhangi bir sayıya uygulanabilirken, özel türdeki sayılar için daha verimli testler geliştirilmiştir. Çoğunlukla, asallık testleri sadece argümanın asal olup olmadığını belirlemekle sınırlıdır. Bileşik argümanların bir asal çarpanını (veya tüm asal çarpanlarını) belirleyebilen rutinler, çarpanlara ayırma algoritmaları olarak tanımlanır. Ayrıca, asal sayılar bilgisayar bilimlerinde denetim toplamlarında, anahtarlı tablolarda ve sanki rastgele sayı üreteçlerinde kullanım alanı bulmaktadır.

Deneme bölme yöntemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir tam sayının asallık durumunun belirlenmesinde kullanılan en temel yöntem, deneme bölme olarak isimlendirilir. Bu metod, ilgili tam sayı 'i 2'den başlayarak 'in kareköküne kadar olan her tam sayıya bölme işlemi uygular. Bu sayılardan herhangi biri tarafından düzgün bir şekilde bölünebilirse, bileşik olarak tanımlanır; aksi halde asal olarak kabul edilir. 'in karekökünden büyük tam sayıların kontrol edilmesine gerek yoktur çünkü, olduğu durumda, ve çarpanlarından biri her zaman 'in kareköküne eşit veya ondan küçüktür. Bu yöntemin bir diğer iyileştirmesi, bu aralıkta yalnızca asal sayıların çarpan olarak kontrol edilmesidir.[120] Örnek olarak, 37 sayısının asal olup olmadığının belirlenmesi sürecinde, bu metod 2'den değerine kadar olan asal sayılar, yani 2, 3 ve 5 sayıları ile bölme işlemi gerçekleştirir. Yapılan her bölme işlemi sıfırdan farklı bir kalan ile sonuçlandığı için, 37 sayısı asal olarak tanımlanır.

Bu metodun tanımı basit olmakla birlikte, büyük tam sayıların asallık testi için uygulanabilirliği sınırlıdır; zira, bu tam sayıların basamak sayısına bağlı olarak yürütülen testlerin sayısı, üstel bir artış göstermektedir.[121] Bununla birlikte, bölücü büyüklüğü üzerinde karekökten daha az bir sınır belirlenerek kullanılan deneme bölme yöntemi, daha karmaşık yöntemlere başvurulmadan önce, küçük çarpanlara sahip bileşik sayıları hızla belirlemek amacıyla bu süzgeçten geçen sayılar üzerinde hâlâ tercih edilmektedir.[122]

Kalbur yöntemleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Eratosten süzgeci animasyonu
Eratosten kalburu, başlangıçta tüm sayıların işaretsiz (gri) olduğu bir durumla işe koyulur. Ardından, tekrarlanan işlemlerle ilk işaretsiz sayıyı tespit eder, bu sayıyı asal olarak işaretler (koyu renkler) ve bu sayının karesi ile bu sayıdan sonra gelen tüm katlarını bileşik olarak işaretler (daha soluk renkler). 2 (kırmızı), 3 (yeşil), 5 (mavi) ve 7 (sarı) sayılarının katlarının işaretlenmesinin ardından, tablonun kareköküne kadar olan tüm asallar ele alınmış ve işaretlenmemiş kalan sayılar (11, 13 vb.) asal olarak nitelendirilir (magenta).

Bilgisayarların var olmadığı dönemlerde, verilen bir sınır değere kadar tüm asalların ya da asal çarpanlaştırmaların listelendiği matematiksel tablolar yaygın biçimde basılmaktaydı.[123] Asal sayıların listesinin elde edilmesinde kullanılan en kadim yöntem, Eratosten kalburu olarak isimlendirilir.[124] Bu yöntemin optimize edilmiş bir çeşidini gösteren animasyon, metodun uygulanışını görselleştirir.[125]

Aynı problem için daha asimptotik açıdan daha verimli bir başka kalbur yöntemi Atkin kalburu olarak belirlenmiştir.[126] İleri düzey matematikte, elek teorisi benzeri metodlar diğer problemlerin çözümünde de kullanılmaktadır.[127]

Asallık testi ile asallığın kanıtlanması[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir sayısının asal olup olmadığını belirlemek amacıyla kullanılan en gelişmiş modern testlerden bazıları, yanlış bir sonuç üretme ihtimali olan olasılıksal (veya Monte Carlo) algoritmalarıdır.[128] Örneğin, bir sayısı için Solovay–Strassen asallık testi uygulamasında, ile arasından rastgele seçilen bir sayısı üzerinden, ifadesinin tarafından bölünebilirliği modüler üs alma aracılığıyla denetlenir.[b] Bu durumda, algoritma pozitif yanıt verir; aksi takdirde, negatif yanıt verir. sayısı gerçekten asal ise, algoritma her zaman pozitif yanıt verir; fakat bileşik bir sayı ise, pozitif yanıt verme olasılığı en fazla 1/2, negatif yanıt verme olasılığı ise en az 1/2'dir.[129]

Bu deneyin aynı sayı üzerinde defa yinelenmesi halinde, bir bileşik sayının her seferinde bu deneyden başarıyla geçme ihtimali en çok olarak belirlenir. Deneylerin sayısı arttıkça, bu ihtimal üssel olarak azaldığından, yinelenen deneyi geçen bir sayının asal olduğuna ilişkin yüksek bir güven seviyesi (fakat kesin bir kanıt değil) elde edilir. Diğer taraftan, eğer deney en az bir kere dahi başarısızlıkla sonuçlanırsa, bu durumda söz konusu sayının mutlaka bileşik olduğu kesinleşir.[130] Bu şekilde bir testi geçmeyi başaran bileşik sayılara sanki asal (İng. pseudoprime) adı verilir.[129]

Diğer taraftan, bazı algoritmaların sonuçlarının daima doğru olacağına dair bir garanti bulunmaktadır. Bu durumun bir örneği deneme bölme yöntemidir. Kesin doğru çıktı sağlayan algoritmalar, AKS asallık testi gibi deterministik (rasgele olmayan) algoritmaları,[131] ve algoritmanın nihai yanıtını etkilemeyen rastgele seçimler yapan, örneğin bazı elips eğri asallık kanıtlama çeşitlerindeki gibi Las Vegas algoritmasını kapsar.[128]

Elips eğri metodu, bir sayının asallığı konusunda bir karara vardığında, kolaylıkla doğrulanabilir bir asallık sertifikası temin eder.[132] Pratik uygulamalarda, garantili doğruluk sağlayan asallık testleri içinde, elips eğri asallık testi en hızlı olanıdır; ancak, bu testin çalışma zamanı analizi, katı ispatlara değil, sezgisel argümanlara dayanır. Matematiksel olarak zaman karmaşıklığı ispatlanmış AKS asallık testi mevcut olmakla birlikte, uygulamada elips eğri asallığını kanıtlamadan daha yavaş işler.[133] Bu metodlar, rastgele sayılar üretilip test edilerek ve asal olan bir sayı bulunana dek büyük rastgele asal sayılar üretmek için kullanılabilir; bu süreçte, bir hızlı olasılıksal test, garantili doğruluk sağlayan bir algoritma ile kalan sayıların asallığının doğrulanmasından önce, çoğu bileşik sayıyı çabucak elemine etme işlevi görür.[c]

Aşağıda sunulan tablo, mevcut testlerden seçilmiş olanları sıralamaktadır. Bu testlerin çalışma zamanları, incelenmek üzere olan sayıyı temsil eden ve olasılıksal algoritmalar için gerçekleştirilen testlerin sayısını ifade eden ile ilişkilendirilmiştir. Ek olarak, , keyfi olarak belirlenebilen küçük bir pozitif değeri simgeler ve log, belirli bir tabana atıfta bulunmaksızın logaritmayı işaret eder. Büyük O gösterimi, her bir zaman kısıtının, boyutsuz birimlerden zaman birimlerine çevrilebilmesi için bir sabit faktör ile çarpılması gerektiğini belirtir; bu faktör, algoritmanın uygulandığı bilgisayarın türü gibi uygulama ayrıntılarına bağlıdır, fakat ve girdi parametrelerine bağlı olmaz.

Test Geliştirildiği yıl Tip Çalışma süresi Notlar Kaynaklar
AKS asallık testi 2002 deterministik [131][134]
Elips eğrisi asallık kanıtlama 1986 Las Vegas sezgisel olarak [133]
Baillie–PSW asallık testi 1980 Monte Carlo [135][136]
Miller–Rabin asallık testi 1980 Monte Carlo hata olasılığı [137]
Solovay–Strassen asallık testi 1977 Monte Carlo hata olasılığı [137]

Özel amaçlı algoritmalar ve en büyük bilinen asal sayı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bahse konu testlerin yanı sıra, özgün biçimdeki bazı sayıların asallık durumu, daha hızlı bir metodoloji kullanılarak test edilebilir. Örnek olarak, Lucas–Lehmer asallık testi, bir Mersenne sayısının (iki'nin bir kuvvetinden bir az olan) asal olup olmadığını, deterministik bir yaklaşımla, Miller–Rabin testinin tek bir yinelemesi kadar sürede tespit edebilmektedir.[138] Bu sebepten ötürü, 1992 yılından itibaren ((Aralık 2018 (2018-12) itibarıyla)) en büyük bilinen asal sayı, sürekli olarak bir Mersenne asalı olagelmiştir.[139] Mersenne asallarının sonsuz olduğu varsayılmaktadır.[140]

Aşağıdaki tablo, çeşitli kategorilerde tespit edilmiş en büyük asal sayıları içermektedir. Bu asal sayıların bir kısmı, dağıtık hesaplama yöntemiyle keşfedilmiştir. 2009 senesinde, en az on milyon rakam içeren bir asal sayıyı ilk defa bulma başarısı gösteren Great Internet Mersenne Prime Search projesi, yüz bin Amerikan doları mükafatına layık görülmüştür.[141] Electronic Frontier Foundation, yüz milyon ve bir milyar rakam barındıran asal sayılar için sırasıyla yüz elli bin ve iki yüz elli bin dolar ödül sunmaktadır.[142]

Tip Asal sayı Basamak sayısı Tarih Kaşif
Mersenne asal sayısı 282,589,933 − 1 24,862,048 Aralık 7, 2018[1] Patrick Laroche, Great Internet Mersenne Prime Search
Proth asal sayısı 10,223 × 231,172,165 + 1 9,383,761 Ekim 31, 2016[143] Péter Szabolcs, PrimeGrid[144]
Faktöriyel asal sayı 208,003! − 1 1,015,843 Temmuz 2016 Sou Fukui[145]
Primorial asal sayı[d] 1,098,133# − 1 476,311 Mart 2012 James P. Burt, PrimeGrid[147]
İkiz asallar 2,996,863,034,895 × 21,290,000 ± 1 388,342 Eylül 2016 Tom Greer, PrimeGrid[148]

Bir bileşik tam sayı olan için, onun bir veya tüm asal çarpanlarını tespit etme işlemi, sayısının çarpanlara ayrılması olarak isimlendirilir. Bu süreç, asallığın sınanmasından bariz bir şekilde daha zor bir hal almaktadır,[149] ve birçok çarpanlara ayrılma algoritması tanımlanmış olmasına rağmen, bunlar en hızlı asallık testi metodlarına kıyasla daha yavaş çalışmaktadırlar. Deneme bölünmesi ve Pollard'ın rho algoritması gibi yöntemler, sayısının oldukça küçük çarpanlarını keşfetmek amacıyla kullanılabilir,[122] ve sayısının az büyüklükte çarpanları varsa, elips eğri çarpanlarına ayırma yöntemi etkili olabilmektedir.[150] Çarpanlarının büyüklüğünden bağımsız olarak, herhangi bir büyüklükteki sayılar için uygulanabilir yöntemler arasında kuadratik kalbur ve genel sayı alanı kalburu metodları yer almaktadır. Asallık testlerinde olduğu gibi, girdinin özgül bir yapıda olmasını zorunlu kılan çarpanlara ayrılma algoritmaları da mevcuttur; bunlar arasında özel sayı alanı kalburu bulunmaktadır.[151] 2019 Aralık itibarıyle, genel amaçlı bir algoritmayla çarpanlarına ayrılmış en büyük sayı, 240 ondalık basamağa (795 bit) sahip RSA-240'dır ve bu, iki büyük asal sayının çarpımından meydana gelmektedir.[152]

Asal oturanlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Aritmetiğin temel teoremi 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da (asal çarpanların değişik sıralanması hariç) yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler. Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebilir.

Örneğin, 23244'ü şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz:
23244 = 22 × 3 × 13 × 149

ve 23244'ün diğer asal çarpanlara ayırış şekilleri yukarıdaki ile aynıdır, fakat asal sayıların sıralaması değişik olabilir. Büyük sayılar için değişik asal çarpanlara ayırma algoritmaları vardır.

İkiz asallar[değiştir | kaynağı değiştir]

Aralarındaki fark iki olan asal sayılar hakkındaki ikiz asallar konjektürü.

Örneğin:
  • (3, 5)
  • (5, 7)
  • (11, 13)
  • (17, 19)
  • (29, 31)
  • (41, 43)
  • (59, 61)
  • (71, 73)
  • (101, 103)
  • (107, 109)

Chen asalları[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir a asal sayısı (a+2) biçiminde yazıldığında asal ya da yarı asal oluyorsa a değeri, Chen asalı olarak adlandırılmaktadır. İkiz asallarda, küçük sayı[153] aynı zamanda Chen asalıdır.

Asal örnekler:

  • a = 5 5 + 2 = 7
  • a = 11 11 + 2 = 13

Yarı asal örnekler:

  • a = 2 2 + 2 = 4 2 × 2 = 4
  • a = 7 7 + 2 = 9 3 × 3 = 9

Mersenne asalları[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir a doğal sayısı (2a – 1) biçiminde yazıldığında hesaplanan değer Mersenne sayısı, asal oluyorsa aynı zamanda Mersenne asalı olarak adlandırılmaktadır. Mersenne asalları hesaplanırken, a sayısı da[154] asal olarak alınmaktadır. Ancak a sayısının asal olarak alındığı bazı durumlarda, bileşik Mersenne sayıları hesaplanabilmektedir. Bilinen en büyük asal sayı olan 282,589,933 − 1, Mersenne asalıdır.

Mersenne asalları:

  • 22 – 1 = 3
  • 25 – 1 = 31

Bileşik Mersenne sayıları:

  • 211 – 1 = 2047

Goldbach hipotezi[değiştir | kaynağı değiştir]

Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi, doğru gözükmesine rağmen halen ispatlanamamıştır. "Her çift (2 hariç) sayı iki asal sayının toplamı mıdır?"

Örneğin:

  • 4 = 2 + 2
  • 6 = 3 + 3
  • 8 = 3 + 5
  • 10 = 3 + 7
  • 12 = 5 + 7
  • 14 = 3 + 11
  • 16 = 3 + 13
  • 18 = 5 + 13
  • 20 = 3 + 17
  • 22 = 3 + 19
  • 24 = 5 + 19
  • 26 = 7 + 19
  • 28 = 5 + 23
  • 30 = 7 + 23
  • 32 = 3 + 29
  • 34 = 5 + 29
  • 36 = 7 + 29

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Sayı sistemleri
Karmaşık
Reel
Rasyonel
Tam sayı
Doğal
Sıfır: 0
Bir: 1
Asal sayılar
Bileşik sayılar
Negatif tam sayılar
Kesir
Sonlu ondalık sayı
İkili (sonlu ikili)
Devirli ondalık sayı
İrrasyonel
Cebirsel irrasyonel
Aşkın
Sanal

Not listesi[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; pure isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
  2. ^ Bu testte, terimi, sayısının varsayılan asal sayısına modulo bir kare olması durumunda negatif, aksi halde pozitiftir. Genel olarak, asal olmayan değerler için, terimi negatifleştirilmiş Jacobi sembolü olarak tanımlanır ve bu karşılıklı kuadratik kullanılarak hesaplanabilir.
  3. ^ Aslında, elips eğri asallığını kanıtlama analizlerinin büyük bir kısmı, algoritmaya giriş olarak sunulan sayının önceden bir olasılıksal testten geçtiği varsayımına dayanmaktadır.[132]
  4. ^ parametresine bağlı olarak tanımlanan primorial fonksiyonu, # şeklinde ifade edilir ve bu fonksiyon, değerine kadar olan tüm asal sayıların çarpımını hesaplar. Primorial asal terimi ise, biçimlerinden herhangi birine uygun olan asal sayıları ifade etmek için kullanılır.[146]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1". Mersenne Research, Inc. 21 Aralık 2018. Erişim tarihi: 21 Aralık 2018. 
  2. ^ "Arşivlenmiş kopya". 12 Nisan 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Nisan 2020. 
  3. ^ Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996Ücretsiz kayıt gerekli. Oxford University Press. s. 26. ISBN 978-0-19-850105-3. 
  4. ^ Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (2. bas.). Routledge. s. 62. ISBN 978-1-136-63662-2. 
  5. ^ Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and SpaceÜcretsiz kayıt gerekli. Golden Press. s. 16. OCLC 6975809. 
  6. ^ Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT IÜcretsiz kayıt gerekli. Barron's Educational Series. s. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9. 
  7. ^ Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (2. bas.). W.H. Freeman and Co. s. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0. 
  8. ^ Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (2. bas.). Elsevier. s. 113. ISBN 978-0-08-096019-7. 
  9. ^ Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414-416. MR 2039814. 
  10. ^ Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. s. 9. ISBN 978-0-387-98289-2. 
  11. ^ Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of NumbersSınırlı deneme süresince özgürce erişilebilir, normalde ise abonelik gereklidir. New York: Macmillan. s. 40. MR 0170843. 
  12. ^ Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notations and Conventions". Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941. 
  13. ^ Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. 111 (2.2yayıncı=John Wiley & Sons bas.). s. 44. ISBN 978-1-118-24382-4. 
  14. ^ Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4). ss. 291-298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458. 
  15. ^ Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (3. bas.). Springer. s. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8. 
  16. ^ a b Pomerance, Carl (Aralık 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6). ss. 136-147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751. 
  17. ^ a b c d Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1). ss. 18-29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288. 
  18. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor Matematik Tarihi arşivi 
  19. ^ Sandifer 2007, 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45
  20. ^ Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. s. 42. ISBN 978-0-88385-584-3. 
  21. ^ Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. s. 369. ISBN 978-0-12-421171-1. 
  22. ^ Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics (2.2cilt=4 bas.). World Scientific. s. 21. ISBN 978-981-4487-52-8. 
  23. ^ Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. s. 11. ISBN 978-3-540-66289-1. 
  24. ^ Tchebychev, P. (1852). "Asal Sayılar Üzerine Bir Bellek" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (Fransızca): 366-390. . (Postulatın kanıtı: 371–382). Ayrıca bkz. Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, cilt 7, sayfa 15–33, 1854
  25. ^ Apostol, Tom M. (2000). "Asal sayı teoreminin yüzyıllık tarihi". Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (Ed.). Sayı Teorisi. Matematikte Eğilimler. Basel: Birkhäuser. ss. 1-14. MR 1764793. 
  26. ^ Apostol, Tom M. (1976). "7. Aritmetik Dizilerdeki Asallar Üzerine Dirichlet Teoremi". Analitik Sayı Teorisi'ne Giriş. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. ss. 146-156. MR 0434929. 
  27. ^ Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. s. 261. ISBN 978-3-642-18192-4. 
  28. ^ Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (4.4yayıncı=Addison-Wesley bas.). s. 342. ISBN 978-0-201-87073-2. 
  29. ^ Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. s. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1. 
  30. ^ Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. s. 224. ISBN 978-0-88385-315-3. 
  31. ^ a b Neale 2017, ss. 18, 47.
  32. ^ a b Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). "The history of the primality of one: a selection of sources". Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523.  For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on the status of 1 and 2, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.
  33. ^ Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy. 39. Brill. ss. 35-38. ISBN 978-90-04-06505-5. 
  34. ^ Caldwell et al. 2012, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.
  35. ^ Caldwell et al. 2012, s. 15.
  36. ^ a b c Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). "What is the smallest prime?" (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530. 
  37. ^ Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2.2mr=1292250 bas.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. s. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. 
  38. ^ a b Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of NumbersÜcretsiz kayıt gerekli. New York: Copernicus. ss. 129-130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676. 
  39. ^ Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 1986. s 31.<[1] 29 Mart 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.>
  40. ^ Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. ss. 118. ISBN 0-19-285361-9. The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes 
  41. ^ ""Why is the number one not prime?" 9 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.". Retrieved 2007-10-02.
  42. ^ ""Arguments for and against the primality of 1 25 Ağustos 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.".
  43. ^ Totient için bkz. Sierpiński 1988, s. 245. Bölenlerin toplamı için bkz. Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. s. 59. ISBN 978-0-88385-563-8. 
  44. ^ Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (12.12yayıncı=Cengage Learning bas.). s. 188. ISBN 978-0-538-73758-6. 
  45. ^ Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16; Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. p. 107: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-109243-5. 
  46. ^ du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. s. 23. ISBN 978-0-06-093558-0. 
  47. ^ Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. ss. 77-78. ISBN 978-0-19-150050-3. 
  48. ^ Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (2.2yayıncı=Prentice Hall bas.). Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3. 
  49. ^ Letter Goldbach'tan Euler'e Latince, Temmuz 1730.
  50. ^ Furstenberg, Harry (1955). "On the infinitude of primes". American Mathematical Monthly. 62 (5). s. 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566. 
  51. ^ Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. s. 4. ISBN 978-0-387-20169-6. 
  52. ^ Öklid'in Elementleri, Book IX, Proposition 20. bakınız David Joyce'un Öklid'in ispatının İngilizce çevirisi ya da Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. s. 63. OCLC 642232959. 
  53. ^ Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. ss. 82-89. ISBN 978-0-201-52989-0. 
  54. ^ a b c Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". Tabachnikov, Serge (Ed.). Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. American Mathematical Society. ss. 13-24. ISBN 978-0-8218-1915-9. 
  55. ^ Mackinnon, Nick (June 1987). "Prime number formulae". The Mathematical Gazette. 71 (456): 113-114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496. 
  56. ^ Wright, E.M. (1951). "A prime-representing function". American Mathematical Monthly. 58 (9): 616-618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356. 
  57. ^ Guy 2013, p. vii.
  58. ^ Guy 2013, C1 Goldbach's conjecture, pp. 105–107.
  59. ^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to ". Mathematics of Computation. 83 (288). ss. 2033-2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1. MR 3194140.  Geçersiz |doi-access=free (yardım)
  60. ^ Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247. See especially p. 239.
  61. ^ Guy 2013, p. 159.
  62. ^ Ramaré, Olivier (1995). "On Šnirel'man's constant". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4). ss. 645-706. MR 1375315. 9 Şubat 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ocak 2018. 
  63. ^ Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. s. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356. 
  64. ^ Koshy 2002, Theorem 2.14, p. 109. Riesel 1994, faktöriyel yerine asal çarpanın kullanıldığı benzer bir mantıksal çıkarımı sunmaktadır.
  65. ^ a b Riesel 1994, "Large gaps between consecutive primes", pp. 78–79.
  66. ^ Şablon:Cite OEIS
  67. ^ a b Ribenboim 2004, Gaps between primes, pp. 186–192.
  68. ^ a b Ribenboim 2004, p. 183.
  69. ^ Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; chan isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
  70. ^ Ribenboim 2004, Prime -tuples conjecture, pp. 201–202.
  71. ^ Sandifer 2007, Chapter 35, Estimating the Basel problem, pp. 205–208.
  72. ^ Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; Ogilvy_1988 isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
  73. ^ Apostol 1976, Section 1.6, Theorem 1.13
  74. ^ Apostol 1976, Bölüm 4.8, Teorem 4.12
  75. ^ a b Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press. ss. 43-44. ISBN 978-0-691-12060-7. 
  76. ^ Crandall & Pomerance 2005, p. 6.
  77. ^ Crandall & Pomerance 2005, Section 3.7, Counting primes, pp. 152–162.
  78. ^ a b Crandall & Pomerance 2005, p. 10.
  79. ^ du Sautoy, Marcus (2011). "What are the odds that your telephone number is prime?". The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. ss. 50-52. ISBN 978-0-230-12028-0. 
  80. ^ Apostol 1976, Section 4.6, Theorem 4.7
  81. ^ Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003). Algebra. Springer. s. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7. 
  82. ^ Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. s. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5. 
  83. ^ Crandall & Pomerance 2005, Theorem 1.1.5, p. 12.
  84. ^ Green, Ben; Tao, Terence (2008). "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions". Annals of Mathematics. 167 (2): 481-547. arXiv:math.NT/0404188 $2. doi:10.4007/annals.2008.167.481. 
  85. ^ Hua, L.K. (2009) [1965]. Additive Theory of Prime Numbers. Translations of Mathematical Monographs. 13. Providence, RI: American Mathematical Society. ss. 176-177. ISBN 978-0-8218-4942-2. MR 0194404. OCLC 824812353. 
  86. ^ The sequence of these primes, starting at rather than , is listed by Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio (2010). "Chapter 33. Formule fortunate". 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (İtalyanca). Ulrico Hoepli Editore S.p.A. s. 133. ISBN 978-88-203-5804-4. 
  87. ^ Chamberland, Marc (2015). "The Heegner numbers". Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. ss. 213-215. ISBN 978-1-4008-6569-7. 
  88. ^ a b Guy (2013). "A1 Prime values of quadratic functions". Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics (3.3ad=Richard bas.). Springer. ss. 7-10. ISBN 978-0-387-26677-0. 
  89. ^ Patterson, S.J. (1988). An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 14. Cambridge University Press, Cambridge. s. 1. doi:10.1017/CBO9780511623707. ISBN 978-0-521-33535-5. MR 0933558. 
  90. ^ Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (2008). Riemann hipotezi: Aficionado ve virtüöz için bir kaynak. CMS Matematik Kitapları/SMC Mathématiques Ouvrages. New York: Springer. ss. 10-11. doi:10.1007/978-0-387-72126-2. ISBN 978-0-387-72125-5. MR 2463715. 
  91. ^ Sandifer 2007, sayfalar 191–193.
  92. ^ Borwein et al. 2008, Conjecture 2.7 (the Riemann hypothesis), p. 15.
  93. ^ Patterson 1988, p. 7.
  94. ^ Borwein et al. 2008, p. 18.
  95. ^ Nathanson 2000, Chapter 9, The prime number theorem, pp. 289–324.
  96. ^ Zagier, Don (1977). "The first 50 million prime numbers". The Mathematical Intelligencer. 1 (S2): 7-19. doi:10.1007/bf03351556.  özellikle bakınız: pp. 14–16.
  97. ^ Kraft & Washington (2014), Proposition 5.3, p. 96.
  98. ^ Shahriari, Shahriar (2017). Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. Pure and Applied Undergraduate Texts. 27. American Mathematical Society. ss. 20-21. ISBN 978-1-4704-2849-5. 
  99. ^ Dudley 1978, Theorem 3, p. 28.
  100. ^ Shahriari 2017, pp. 27–28.
  101. ^ Ribenboim 2004, Fermat's little theorem and primitive roots modulo a prime, pp. 17–21.
  102. ^ Ribenboim 2004, The property of Giuga, pp. 21–22.
  103. ^ Ribenboim 2004, The theorem of Wilson, p. 21.
  104. ^ a b Childress, Nancy (2009). Class Field Theory. Universitext. Springer, New York. ss. 8-11. doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. MR 2462595.  See also p. 64.
  105. ^ Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). Introduction to Number Theory. Textbooks in Mathematics (2.2 isbn = 978-1-4987-1749-6 bas.). Boca Raton, FL: CRC Press. s. 200. MR 3468748. 
  106. ^ Weil, André (1995). Basic Number Theory. Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. s. 43. ISBN 978-3-540-58655-5. MR 1344916.  Geçersiz |url-erişimi=limited (yardım) Note however that some authors such as Childress (2009) instead use "place" to mean an equivalence class of norms.
  107. ^ Koch, H. (1997). Algebraic Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. s. 136. CiteSeerX 10.1.1.309.8812 $2. doi:10.1007/978-3-642-58095-6. ISBN 978-3-540-63003-6. MR 1474965. 
  108. ^ Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. s. 127. doi:10.1017/CBO9780511804229. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325. 
  109. ^ Lauritzen 2003, Corollary 3.5.14, p. 133; Lemma 3.5.18, p. 136.
  110. ^ Kraft & Washington 2014, Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301.
  111. ^ Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 150. Section 3.3: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960. 
  112. ^ Shafarevich, Igor R. (2013). "Definition of ". Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (3.3 isbn = 978-3-642-38009-9 bas.). Springer, Heidelberg. s. 5. doi:10.1007/978-3-642-38010-5. MR 3100288. 
  113. ^ Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 322. Section I.8, p. 50: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. 
  114. ^ Neukirch 1999, Section I.7, p. 38
  115. ^ Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W. Jr. (1996). "Chebotarëv and his density theorem". The Mathematical Intelligencer. 18 (2): 26-37. CiteSeerX 10.1.1.116.9409 $2. doi:10.1007/BF03027290. MR 1395088. 
  116. ^ Hall, Marshall (2018). The Theory of Groups. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6.  Sylow teoremleri için bkz. s. 43; Lagrange teoremi için bkz. s. 12; Burnside teoremi için bkz. s. 143.
  117. ^ Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008). How Round is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet. p. 178: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13118-4. 
  118. ^ Hardy, Godfrey Harold (2012) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. s. 140. ISBN 978-0-521-42706-7. OCLC 922010634. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years. 
  119. ^ Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; ent-7 isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
  120. ^ Giblin, Peter (1993). Primes and Programming. Cambridge University Press. s. 39. ISBN 978-0-521-40988-9.  Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)
  121. ^ Giblin 1993, p. 54
  122. ^ a b Riesel 1994, p. 220.
  123. ^ Bullynck, Maarten (2010). "A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817". Revue d'Histoire des Mathématiques. 16 (2): 133-216. 
  124. ^ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). The Joy of Factoring. Student mathematical library. 68. American Mathematical Society. s. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3. 
  125. ^ Crandall; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (2.2ad1=Richard bas.). Springer. s. 121. ISBN 978-0-387-25282-7. 
  126. ^ Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). "On the complexity of computing prime tables". Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa (Ed.). Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. 9472. Springer. ss. 677-688. arXiv:1504.05240 $2. doi:10.1007/978-3-662-48971-0_57. ISBN 978-3-662-48970-3. 
  127. ^ Greaves, George (2013). Sieves in Number Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 43. Springer. s. 1. ISBN 978-3-662-04658-6. 
  128. ^ a b Hromkovič, Juraj (2001). "5.5 Bibliographic Remarks". Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. ss. 383-385. doi:10.1007/978-3-662-04616-6. ISBN 978-3-540-66860-2. MR 1843669. 
  129. ^ a b Koblitz, Neal (1987). "Chapter V. Primality and Factoring". A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. 114. Springer-Verlag, New York. ss. 112-149. doi:10.1007/978-1-4684-0310-7_5. ISBN 978-0-387-96576-5. MR 0910297. 
  130. ^ Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). "2.3.9 Probabilistic Computations". Fundamentals of Computer Security. Springer. ss. 51-52. ISBN 978-3-662-07324-7. 
  131. ^ a b Tao, Terence (2010). "1.11 The AKS primality test". An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics. 117. Providence, RI: American Mathematical Society. ss. 82-86. doi:10.1090/gsm/117. ISBN 978-0-8218-5280-4. MR 2780010. 
  132. ^ a b Atkin, A O.L.; Morain, F. (1993). "Elliptic curves and primality proving" (PDF). Mathematics of Computation. 61 (203): 29-68. Bibcode:1993MaCom..61...29A. doi:10.1090/s0025-5718-1993-1199989-x. JSTOR 2152935. MR 1199989.  Geçersiz |doi-access=free (yardım)
  133. ^ a b Morain, F. (2007). "Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm". Mathematics of Computation. 76 (257): 493-505. arXiv:math/0502097 $2. Bibcode:2007MaCom..76..493M. doi:10.1090/S0025-5718-06-01890-4. MR 2261033. 
  134. ^ Lenstra, H. W. Jr.; Pomerance, Carl (2019). "Primality testing with Gaussian periods" (PDF). Journal of the European Mathematical Society. 21 (4): 1229-1269. doi:10.4171/JEMS/861. hdl:21.11116/0000-0005-717D-0. MR 3941463. 
  135. ^ Carl Pomerance; John L. Selfridge; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 1980). "The pseudoprimes to 25·109" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (151): 1003-1026. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7. JSTOR 2006210.  Geçersiz |doi-access=free (yardım)
  136. ^ Robert Baillie; Samuel S. Wagstaff, Jr. (October 1980). "Lucas Pseudoprimes" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (152): 1391-1417. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6. JSTOR 2006406. MR 0583518.  Geçersiz |doi-access=free (yardım)
  137. ^ a b Monier, Louis (1980). "Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms". Theoretical Computer Science. 12 (1): 97-108. doi:10.1016/0304-3975(80)90007-9. MR 0582244.  Geçersiz |doi-access=free (yardım)
  138. ^ Tao, Terence (2009). "1.7 The Lucas–Lehmer test for Mersenne primes". Poincaré's legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part I. Providence, RI: American Mathematical Society. ss. 36-41. ISBN 978-0-8218-4883-8. MR 2523047. 
  139. ^ Kraft & Washington 2014, s. 41.
  140. ^ Örnek olarak Guy 2013, A3 Mersenne asalları. Tekrarlanan birimler. Fermat sayıları. şeklindeki asal sayılar. ss. 13–21.
  141. ^ "Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize". Electronic Frontier Foundation. 14 Ekim 2009. Erişim tarihi: 4 Ocak 2010. 
  142. ^ "EFF Cooperative Computing Awards". Electronic Frontier Foundation. 29 Şubat 2008. Erişim tarihi: 4 Ocak 2010. 
  143. ^ "PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject" (PDF). Erişim tarihi: 3 Ocak 2017. 
  144. ^ Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Largest Known Primes". The Prime Pages. Erişim tarihi: 3 Ocak 2017. 
  145. ^ Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Factorial". The Prime Pages. Erişim tarihi: 3 Ocak 2017. 
  146. ^ Ribenboim 2004, p. 4.
  147. ^ Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Primorial". The Prime Pages. Erişim tarihi: 3 Ocak 2017. 
  148. ^ Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Twin Primes". The Prime Pages. Erişim tarihi: 3 Ocak 2017. 
  149. ^ Kraft & Washington 2014, p. 275.
  150. ^ Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, Joseph H. (2014). An Introduction to Mathematical Cryptography. Undergraduate Texts in Mathematics (2.2yayıncı=Springer bas.). s. 329. ISBN 978-1-4939-1711-2. 
  151. ^ Pomerance, Carl (1996). "A tale of two sieves". Notices of the American Mathematical Society. 43 (12): 1473-1485. MR 1416721. 
  152. ^ Emmanuel Thomé, “795-bit factoring and discrete logarithms,” Aralık 2, 2019.
  153. ^ "Chen Asalı". Chen Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 15 Mart 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023. 
  154. ^ "Mersenne Asalı". Mersenne Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 11 Mayıs 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023. 

Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Nedir? :Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? ile ilgili Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? burada bulabilirsiniz. Detaylar için sitemizi geziniz Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Ne Demektir? Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Açıklaması Nedir? Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Cevabı Nedir? Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Kelimesinin Anlamı? Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? konusu Nedir Ne, yaşantımızda sık kullanılan kelimelerden birisi olarak karşımıza çıkar. Hem sosyal medyada hem de gündelik yaşantıda kullanılan ne kelimesi, uzun yıllardan beri dilimizdedir. Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Türk Dil Kurumu na (TDK) göre farklı anlamları olan ne kelimesi, Türkçe de tek başına ya da çeşitli cümleler eşliğinde kullanılabilir. Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Ne kelimesi ne demek, TDK ya göre anlamı nedir sorularının cevabını arayanlar için bildiris.com doğru adres! Peki, ne kelimesi ne demek, TDK ye göre anlamı nedir? Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Ne kelimesinin kökeni ne, ne kelimesinin kaç anlamı var? Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? İşte TDK bilgileri ile merak edilenler
Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Açıklaması? :Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Açıklama Bir Terim Kavram Ya Da Başka Dilsel Olgunun Daha İyi Anlaşılması İçin Yapılan Ek Bilgidir.Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Söz Konusu Bilgi Açıklanacak Sözcükten Daha Uzun Olur Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Açıklama İle İlgili Durumun Kanıtı Şu Şekilde Doğrulanabilir Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Bir Sözlükteki Tanım İlgili Sözcük Yerine Kullanılabilirse, Bu Bir Açıklamadır. Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Yani Aynı Bağlam İçinde Hem Sözcük Hem De Tanım Kullanılırsa Ve Anlamsal Açıdan Bir Sorun Oluşturmuyorsa Bu Bir Açıklamadır.
Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Gerçek mi? :Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? ile ilgili Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? burada bulabilirsiniz. Detaylar için sitemizi geziniz Gerçek anlam Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? sözcüklerin birincil anlamı ile (varsa) bu anlamla doğrudan ilişkili olan anlamlarıdır. Gerçek anlam, temel anlam ile yan anlamların bileşkesidir. Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Bir sözcüğün mecaz olmayan tüm anlamlarını kapsar.
Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Hakkında? :Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? ile ilgili Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? burada bulabilirsiniz. Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Detaylar için sitemizi geziniz Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? Bu sayfada Hakkında nedir Hakkında ne demek Hakkında ile ilgili sözler cümleler bulmaca kısaca Hakkında anlamı tanımı açılımı Hakkında hakkında bilgiler Asal sayı nedir?, Asal sayı anlamı nedir?, Asal sayı ne demektir? resimleri Hakkında sözleri yazıları kelimesinin sözlük anlamı nedir almanca ingilizce türkçe çevirisini bulabilirsiniz
Johannes Diderik van der Waals, Bursa Devlet Tiyatrosu, Patellifolia, Undisputed Attitude, Richland County, Kuzey Dakota, Noşirvan Mustafa, EGO Genel Müdürlüğü, 1445, Maluku Denizi, Cellular, Klein Barkau, Rönesans müziği, KYPCK, McKenzie County, Kuzey Dakota, McIntosh County, Kuzey Dakota, Cavalier County, Kuzey Dakota, Renville County, Kuzey Dakota, NGC 1383, Sheridan County, Kuzey Dakota, 2017 FIFA 20 Yaş Altı Dünya Kupası, 2017 fifa 20 yaş altı dünya kupası, Ferisi, John James Richard Macleod, The Legend Of Korra (1. Sezon), Çarmıh, Ziploc, Billings County, Kuzey Dakota, 2020 Dağlık Karabağ çatışmalarının zaman çizelgesi, Walworth County, Güney Dakota, Bursa Yıldırımspor, Lawrence County, Güney Dakota, Marshall County, Güney Dakota, Mellette County, Güney Dakota, Campbell County, Güney Dakota, Lies My Parents Told Me, Russell Mahkemesi, 5 Ekim, Patrick Day, Florence Nightingale Müzesi, Portobello Cadısı, Türkiye yassı solucanlar listesi, Hiperbolik sekant, Türkiye Cumhuriyeti Adalet Bakanlığı, Randall Azofeifa, Caligula, Osman Özköylü, İdadi, İslamda kadın, Fort Worth, Beril Dedeoğlu, Kayaç, Graubünden, Thriller 25, 141 Likya depremi, NGC 1065, Dakota Kai, Mevduat hesabı, Buganda, Kosova Ovası (Kent), 18. Akademi Ödülleri, Kazakistan Menkul Kıymetler Borsası, Ataköy Tren İstasyonu, Çin bayrağı, Maxime Bossis, Thymus munbyanus, Bağdat Seferi, Guy Dardenne, Adam Wilhelm Moltke, Shi Le, Yönlendirme, Gaziantepte 1991 Türkiye genel seçimleri, David Bryan, Mediha Demirkıran, Erman Bulucu, Kamu yararı, Abedi Pele, Rhode Island School of Design Museum, Zonguldakta 2014 Türkiye cumhurbaşkanlığı seçimi, Analog sinyal, Adem Bereket, Titus Burckhardt, NGC 1823, Ekrem Ertuğrul, 1700, Yugoslavya Krallığı idari yapılanması, Willie Anderson (golfçü), Ving Rhames, Giants Stadyumu, Maxilla, WTA Finalleri, Grand Forks County, Kuzey Dakota, Morton County, Kuzey Dakota, Şibenik, Zbigniew Messner, Sibenik, Ramsey County, Kuzey Dakota, Mercer County, Kuzey Dakota, Pierce County, Kuzey Dakota, BAFTA En İyi Görüntü Yönetmeni Ödülü, Kişi başına satın alma gücü paritelerine göre ülkeler listesi,
Zehirsiz İsminin Anlamı Nedir?, Ferasetsiz Nedir?, Tuncer Usta Kimdir?, Tevazulu Nedir?, Ferasetli Nedir?, Zehirli İsminin Anlamı Nedir?, Nesrin Arslan Kimdir?, Ferahlık Duymak Nedir?, Çağatay Atasay Kimdir?, Zehir Zıkkım İsminin Anlamı Nedir?, Alpaslan Türkkan Kimdir?, Zecrî İsminin Anlamı Nedir?, Adnan Sinan Çakıroğlu Kimdir?, Yrd Doç Dr Badegül Can Emir Kimdir? Yrd Doç Dr Badegül Can Emir Nereli Yrd Doç Dr Badegül Can Emir Kaç Yaşında?, Zebunküş İsminin Anlamı Nedir?, Aziz Cem Güner Kimdir?, Zebun İsminin Anlamı Nedir?, Ferah Tut Nedir?, Doğukan Ak Kimdir?, Zayi İsminin Anlamı Nedir?, Ferah Bulmak Nedir?, Doğan Avcı Kimdir?, Zayıf Sesli İsminin Anlamı Nedir?, Erol Bayram Kimdir?, Feragatli Nedir?, Tufan Yanar Kimdir?, Zayıf Nahif İsminin Anlamı Nedir?, Testereli Nedir?, Özgül Baydoğan Kimdir?, Feragat Sahibi Nedir?, Zayıf İsminin Anlamı Nedir?, Tespihsiz Nedir?, Naci Şanlıtürk Kimdir?, Zaviyevi İsminin Anlamı Nedir?, Ülkü Ayaydın Kimdir?, Tespihli Nedir?, Fer Almak Nedir?, Akadyana bayrağı Anlamı Nedir, Akadyana bayrağı Nasıl Oluştu, Akadyana bayrağı Tarihi, Akadyana bayrağı Renkleri, Akadyana bayrağı Tasarımı, Naile İşlek Kimdir?, Zavallı İsminin Anlamı Nedir?, Teslimiyetçi Nedir?, Zatî İsminin Anlamı Nedir?, Fenomenolojik Nedir?, Nizamettin Öztürk Kimdir?, Ahmet Yasin Şentürk Kimdir?, Fenomenal Nedir?, Zata Mahsus İsminin Anlamı Nedir?, Ejder Kaygusuz Kimdir?, Fenolojik Nedir?, Zaruri İsminin Anlamı Nedir?, Tesettürsüz Nedir?, Emrullah Türe Kimdir?, Zarsı İsminin Anlamı Nedir?, Tesettürlü Nedir?, Fenlenmek Nedir?, Elif Baysal Kimdir?, Zarplı İsminin Anlamı Nedir?, Fenik Nedir?, Mehmet Bağlar Kimdir?, Cumali İnce Kimdir?, Zarif İsminin Anlamı Nedir?, Fenersiz Yakalanmak Nedir?, Fevzi Fatih Oğuz Kimdir?, Zafer Bayrağı (Azerbaycan) Anlamı Nedir, Zafer Bayrağı (Azerbaycan) Nasıl Oluştu, Zafer Bayrağı (Azerbaycan) Tarihi, Zafer Bayrağı (Azerbaycan) Renkleri, Zafer Bayrağı (Azerbaycan) Tasarımı, Fenersiz Nedir?, Zararsız İsminin Anlamı Nedir?, Fenerli Nedir?, Zararlı İsminin Anlamı Nedir?, Hüseyin Çalişci Kimdir?, İrfan Karatutlu Kimdir?, Feneri Nerde Söndürdün Nedir?, Zarardîde İsminin Anlamı Nedir?, Terso Nedir?, Metin Bozkurt Kimdir?, Zarafetli İsminin Anlamı Nedir?, Savaş bayrağı Anlamı Nedir, Savaş bayrağı Nasıl Oluştu, Savaş bayrağı Tarihi, Savaş bayrağı Renkleri, Savaş bayrağı Tasarımı, Fener Çekmek Nedir?, Mustafa Çiftci Kimdir?, Zampara İsminin Anlamı Nedir?, Tersinir Nedir?, Gülfiraz Sağlık Kimdir?, Ters Türs Nedir?, Zamlı İsminin Anlamı Nedir?, Fenaya Çekmek Nedir?, Filiz Kılıç Kimdir?, Ters Ters Nedir?, Fenasına Gitmek Nedir?, Zamklı İsminin Anlamı Nedir?, Mehtap Nazan Göktaş Kimdir?, Fenalık Geçirmek Nedir?, Sancak (bayrak) Anlamı Nedir, Sancak (bayrak) Nasıl Oluştu, Sancak (bayrak) Tarihi, Sancak (bayrak) Renkleri, Sancak (bayrak) Tasarımı, Zamansız İsminin Anlamı Nedir?, Burak Kotan Kimdir?, Fenalık Etmek Nedir?, Yaşar Furkan Bingöl Kimdir?, Zamanlı İsminin Anlamı Nedir?, Terminolojik Nedir?, Fena Yerine Vurmak Nedir?, Yusuf Yalvaç Kimdir?, Zaman Bilimsel İsminin Anlamı Nedir?,